因數

因數^[1]（英語：factor）也稱 因數^[2]、因子^[3]、除子^[4]、除數（divisor），是一個常見的數學名詞，用於描述自然數 ${\displaystyle a}$ 和自然數 ${\displaystyle b}$ 之間存在的整除關係，即 ${\displaystyle b}$ 可以被 ${\displaystyle a}$ 整除。這裡我們稱 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle a}$ 的倍數，${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle b}$ 的因數或因子。

提示：此條目的主題不是因式。

定義

設 ${\displaystyle a,b}$ 滿足 ${\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*},b\in \mathbb {N} }$. 若存在 ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ 使得 ${\displaystyle b=aq}$, 那麼就說 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle a}$ 的倍數， ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle b}$ 的因數。這種關係記作 ${\displaystyle a|b}$,讀作「${\displaystyle a}$ 整除 ${\displaystyle b}$」.

例如 ${\displaystyle 24=3\times 8,\;1150=25\times 46}$. 所以 ${\displaystyle 3|24,\;25|1150}$，同時 ${\displaystyle 3}$ 是 ${\displaystyle 24}$ 的因數；${\displaystyle 25}$ 是 ${\displaystyle 1150}$ 的因數。

除了自己本身外的因數，稱為 真因數 或 真因子^[5][6]（proper divisor）^[7][8]。

性質

• 若 ${\displaystyle a|b,\;b|c}$ 那麼 ${\displaystyle a|c}$.
• 若 ${\displaystyle a|b,\;a|c}$ 且 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$, 有 ${\displaystyle a|(bx+cy)}$.
• 若 ${\displaystyle a|b}$, 設 ${\displaystyle t\not =0}$, 那麼 ${\displaystyle (ta)|(tb)}$.
• 若 ${\displaystyle b=qd+c}$, 那麼 ${\displaystyle d|b}$ 的充要條件是 ${\displaystyle d|c}$
• 若 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$ 滿足 ${\displaystyle ax+by=1,\;a|n.\;b|n}$ 那麼 ${\displaystyle ab|n}$.

這裡對最後一條性質進行證明:

${\displaystyle \because a|n,\;b|n\quad \therefore ab|bn,\;ab|an\quad \therefore ab|(anx+bny)}$

${\displaystyle \because ax+by=1\quad \therefore ab|n}$

證畢。

相關定理

整數的唯一分解定理

任何一個正整數都有且僅有一種方式寫出它所有質數因子的乘積表達式。這個過程稱為質因數分解

如果 ${\displaystyle A\in \mathbb {N} ^{+}}$, 那麼

${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}}$, 其中 ${\displaystyle p_{i}}$ 是一個質數.

這種表示方法是唯一的。

因數個數

自然數 ${\displaystyle N}$ 的因數個數以 ${\displaystyle d(n)}$ 表示。

若 ${\displaystyle N}$ 唯一分解為 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$, 則 ${\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)}$.

例如 ${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$，則其正因數個數 ${\displaystyle d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24}$。

因數和

自然數N的正因數和，以因數函數 ${\displaystyle \sigma (N)}$ 表示。由質因數分解而得。

若 ${\displaystyle N}$ 唯一分解為 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$, 則 ${\displaystyle \sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)}$.

再由等比級數求和公式可知，上式亦可寫成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}}$

例如${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$，則其正因數之和

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}$。

其他

• 所有n的正因數都是n的質因數的積的一些冪。這是算術基本定理的結果。

• 1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為${\displaystyle x=1x=-1\times (-x)}$

由上式同樣可證明，一個整數及其相反數必然為自身的因數，叫做 明顯因數。

• n的正因數數目是積性函數d(n)，正因數之和則是另一個積性函數σ(n)。詳見除數函數

• 質數${\displaystyle p}$只有2個正因數：1, ${\displaystyle p}$。${\displaystyle p}$ 的平方數只有三個正因數：1, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p^{2}}$。