矩陣單元

在線性代數中，矩陣單元是一個矩陣，其中只有一個元素為1，其餘元素為0。^[1][2]1位於第i行第j列的矩陣單元以${\displaystyle E_{ij}}$表示。例如，i = 1，j = 2的3 × 3矩陣單元為 $${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

提示：此條目的主題不是單位矩陣。

性質

${\displaystyle m\times n}$矩陣單元的集合是${\displaystyle m\times n}$矩陣空間的基。^[2]

兩個形狀相同（${\displaystyle n\times n}$）的矩陣單元的積滿足關係 $${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$，其中${\displaystyle \delta _{jk}}$是克羅內克δ函數。^[2]

在環R上${\displaystyle n\times n}$純量矩陣的群是在R上${\displaystyle n\times n}$矩陣集合中${\displaystyle n\times n}$矩陣單元子集的中心化子。^[2]

它與另一個矩陣相乘時，它會孤立任意一行或列。例如，對於任何3 × 3矩陣A：^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$