證明的方法基於線性空間的基和同構。
設
是一個有限維線性空間,其維度
。對一個從
射到
的線性轉換
,它的核
是
的一個子空間。設
是
的一組基(
)。根據基擴充定理,
可以被擴充為
的一組基:
。除了
的
個向量以外,另外的
個向量
是一組線性獨立的向量。設
是它們張成的子空間,那麼
是子空間
與
的直和:

所以,按照直和的性質,有
,並且這兩個子空間的交集為
。同時,
都可以寫成
的形式,其中
。考慮
限制在
上到
的線性轉換
:

下證
是一個同構。首先由於
是線性映射,所以
是線性映射。只需證明它也是對射:
是一個單射,因為
,
。
是一個滿射,因為
,
使得
,而且
,其中
。 於是
,其中
,所以
是一個滿射。
既然
是一個
到
的同構,那麼

- 綜上所述,即有:

- 也就是:
[1]:59