積分第二均值定理

積分第二均值定理是與積分第一均值定理相互獨立的一個定理，屬於積分均值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

內容

若${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上黎曼可積且${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle [a,b]}$上單調，則存在${\displaystyle [a,b]}$上的點${\displaystyle \xi }$使

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}}$；

退化態的幾何意義

第二積分均值定理退化形式的幾何意義

令${\displaystyle g(x)=1}$，則原公式可化為：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )}$；

進而導出：

${\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}}$；

此時易得其幾何意義為： 能找到${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，使得S[紅]+S[藍]=S[陰影]，即S[I]=S[II]

另請參見

均值定理