空矩陣

此條目的主題是行數或列數為零的矩陣。關於行數與列數皆不為零，但其元素全為零的矩陣，請見「零矩陣」。

空矩陣是指至少有一個維度為零的矩陣，亦即行數或列數為零的矩陣。^[1][2]最小的空矩陣為0×0矩陣。空矩陣亦可以是0×5或10×0等形式^[3]。空矩陣不會存在任何元素。

定義

空矩陣的定義可以完善一些關於零維空間的約定。包括約定一個矩陣與空矩陣相乘得到的也是空矩陣，兩個${\displaystyle n\times 0}$和${\displaystyle 0\times p}$的空矩陣相乘是一個${\displaystyle n\times p}$的零矩陣（所有元素都是零的矩陣）。0×0的空矩陣的行列式約定為1，所以它也可以有逆矩陣，約定為它自己^[4]:18。

性質

• 維數相同的空矩陣與空矩陣相乘仍為空矩陣^[5]

  ${\displaystyle \left[\ \right]\times \left[\ \right]=\left[\ \right]}$

• 空矩陣與純量或向量相乘仍為空矩陣^[5]
• ${\displaystyle n\times 0}$的空矩陣和${\displaystyle 0\times p}$的空矩陣相乘結果為${\displaystyle n\times p}$的零矩陣^[5]
• ${\displaystyle 0\times m}$的空矩陣和任一${\displaystyle m\times n}$的矩陣相乘結果為${\displaystyle 0\times n}$的空矩陣^[5]
• 任一${\displaystyle m\times n}$的矩陣和${\displaystyle n\times 0}$的空矩陣相乘結果為${\displaystyle m\times 0}$的空矩陣^[5]
• 空矩陣的行列式約定為1，即空積。^[4]
• 空矩陣${\displaystyle \left[\ \right]}$等於零維零矩陣${\displaystyle \mathbf {0} _{0\times 0}}$等於零維單位矩陣${\displaystyle I_{0\times 0}}$。^[6]

  ${\displaystyle \left[\ \right]=\mathbf {0} _{0\times 0}=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}}$

• 空矩陣的反矩陣為自身。^[4]:18

  由於${\displaystyle \left[\ \right]=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}}$

  因此${\displaystyle \left[\ \right]\left[\ \right]^{-1}=\left[\ \right]=I_{0\times 0}}$，滿足反矩陣與自身相乘為單位矩陣的定義。

• 空矩陣的秩為0^[7]

參見

• 零矩陣