空集合(英語:empty set)是不含任何元素的集合,數學符號為、∅或{ }。
符號
空集的標準符號由尼古拉·布林巴基小組創造,寫作∅(),首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一:集合論》(Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats)。這符號也可寫作,有時候採用近似字符「Ø」,也可以使用大括號表示。
這符號源自北歐語言的拉丁字母「Ø」,但常被誤會為希臘字母「φ」。(φ有兩個寫法:小寫的和縮小了的大寫,後者常被誤用為空集符號。的中間為一長豎,中間的圈也較小,與的斜線和大圓不同。)。
提出用北歐字母為符號的,是布爾巴基小組成員安德烈·韋伊。他在自傳寫道:
“ |
|
” |
空集符號∅的Unicode編碼為U+2205,TeX代碼是\emptyset
或\varnothing
(後者是AMS符號,很多人較喜歡後者的字形[2])。
性質
(這裡採用數學符號)。
- 對任意集合,空集是的子集;
- 對任意集合,空集和的聯集為:
- 對任意集合,空集和的交集為空集:
- 對任意集合,空集和的笛卡兒積為空集:
- 空集的唯一子集是空集本身:
- 空集的冪集是僅包含空集的集合:
- 空集的元素個數(即它的勢)為零;特別是,空集是有限的:
集合論中,兩個集合相等,若它們有相同的元素;那麼僅可能有一個集合是沒有元素的,即空集是唯一的。
考慮空集為實數線(或任意拓撲空間)的子集,空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集,是它的子集,因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集,是它的子集,因此空集是開集。另外,空集是緊緻集合,因為凡有限集合都是緊緻的。
空集的閉包是空集。
空集和0
根據定義,空集有0個元素,或者稱其勢為0。然而,這兩者的關係可能更進一步:在標準的自然數的集合論定義中,0被定義為空集。
常見問題
空集不是「無」;它是「內部」沒有元素的集合,但這個集合是「存在」的,即「有」這個集合。這通常是初學者的一個難點。可以將集合想像成一個裝有其元素的袋子──袋子可能是空的,但袋子本身確實是存在的。
有些人會想不通上述第一條性質,即空集是任意集合的子集。按照子集的定義,這條性質是說的每個元素x都屬於。若這條性質不為真,那{}中至少有一個元素不在中。由於中沒有元素,也就沒有的元素不屬於了,得到的每個元素都屬於,即是的子集。
空集的運算
空集(作為集合)上的運算也可能使人迷惑。(這是一種「空運算」。) 例如:空集元素的和為0(「空和」),而它們的積為1(見空積)。這可能看上去非常奇怪,空集中沒有元素,他們是怎麼相加和相乘的呢? 最終,這些運算的結果更多被看成是運算的問題,而不是空集的。比如,可以注意到0是加法的單位元素,而1是乘法的單位元素。
公理化集合論
在諸如策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論中,空集的存在性是由空集公理確定的。空集的唯一性由外延公理得出。
使用分類公理,任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如:若是集合,則分離公理允許構造集合,它就可以被定義為空集。
範疇論
哲學層面
儘管空集在數學中是一個標準,並被廣泛接受,仍然有人對它表示懷疑。
Jonathan Lowe認為,這一概念「無疑是數學歷史上的里程碑,……;不需要假設其在計算時的有效性要基於其確實表達了某些物件」,但在另一方面,「我們所知的空集只是它 (1)是個集合,(2)沒有元素,(3)在沒有元素的集合中唯一。然而,有很多東西『沒有元素』,在集合論角度而言,叫做非集合。為什麼它們沒有元素是顯而易見的,因為它們不是集合。不清楚的是,為什麼在集合中,沒有元素的集合是唯一的。僅僅通過約束是不可能將這麼一個實體變出來的。」[3]
在"To be is to be the value of a variable…",Journal of Philosophy,1984(在書Logic, Logic and Logic中再次發表)中,小George Boolos認為許多集合論中的結論,也可以透過對個體進行複數量化來得到,所以無需把集合具體化為包含其他實體作為元素的實體。[4]
參考資料
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