在數學領域中,兩個集合是等勢的(英語:equinumerous)意為它們之間存在一個雙射。這種性質經常叫做等勢性(equinumerosity)。英文中也會用術語 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。 定義 定義 — A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 是二集合,若 f {\displaystyle f} 滿足 ( ∀ a ∈ A ) ( ∃ ! b ) { ( b ∈ B ) ∧ [ ( a , b ) ∈ f ] } {\displaystyle (\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}} ( f {\displaystyle f} 是 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 間的函數) ( ∀ b ∈ B ) ( ∃ a ∈ A ) [ ( a , b ) ∈ f ] {\displaystyle (\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]} (每個 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 都可以用 f {\displaystyle f} 的規則對到某 a ∈ A {\displaystyle a\in A} ) ( ∀ a 1 ∈ A ) ( ∀ a 2 ∈ A ) ( ∀ b ∈ B ) { [ ( a 1 , b ) , ( a 2 , b ) ∈ f ] ⇒ ( a 1 = a 2 ) } {\displaystyle (\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}} ( a 1 , a 2 ∈ A {\displaystyle a_{1},\,a_{2}\in A} 都對到 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 則兩者相等 ) 此時用以下符號簡記: A ≅ f B {\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B} 更進一步的,可以定義: A ≅ B := ( ∃ f ) [ A ≅ f B ] {\displaystyle A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]} 並可簡稱為 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 是等勢的。 A ≅ f B {\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B} 直觀上來說,就是任意 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 都可以透過函數 f {\displaystyle f} 的規則,被唯一的一個 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 對應。而所謂的等勢,就是 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。 Remove ads範例 設 E = { 2 n | n ∈ N } {\displaystyle E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}} 是全體偶數的集合,那麼,它與自然數集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 是等勢的; 有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 與自然數 N {\displaystyle \mathbb {N} } 是等勢的(所有有理數與自然數是「一樣多」的); 然而,無理數 R − Q {\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} } 與自然數 N {\displaystyle \mathbb {N} } 或有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 都不等勢(無理數比有理數「個數多」)。 Remove ads性質 兩個有限集是等勢的,若且唯若它們的元素個數相等。 等勢可構成一個等價關係。 範疇論的等勢 在集合範疇中,帶有函數作為態射的所有集合的範疇,在兩個集合之間的同構正好是一個雙射,而兩個集合正好是等勢的,如果它們在這個範疇中是同構的。 參見 集合範疇 基數 (數學) 雙射 這是一篇關於數學的小作品。您可以透過編輯或修訂擴充其內容。閱論編 Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads