等度連續

在數學分析中，一個函數集合被稱為等度連續的，如果其中的函數都是連續的並且當自變量變動時，它們的取值都在「相同程度」的範圍中浮動。一般來說，集合里的函數是有限個或可數無限個。

等度連續最早出現在阿爾澤拉-阿斯科利定理中^[1][2]。阿爾澤拉—阿斯科利定理說明，考慮某個緊豪斯多夫空間X，以及建立在它上面的連續函數的集合C(X)的一個子集，這個子集是緊集若且唯若它是閉集。作為結論，C(X) 里的一個函數序列一致收斂若且唯若它是等度連續的，並且逐點收斂。^[2]

定義

設 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 為從拓撲空間 E 射到度量空間 F 的一組函數。${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 是等度連續的若且唯若

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall i\in I,\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }$

如果拓撲空間 E 上定義了一個距離，那麼一組函數 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 是一致等度連續的若且唯若

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \eta >0,\forall i\in I,\forall x\in E,\forall y\in B(x,\eta ),d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }$

作為對比，命題：「一組函數 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ 全都是連續的」的數學化形式如下：

${\displaystyle \forall i\in I,\forall \varepsilon >0,\forall x\in E,\exists V\in {\mathcal {V}}(x),\forall y\in V,d(f_{i}(x),f_{i}(y))\leq \varepsilon }$

可以看出，對於一般的連續性，鄰域 V 的選擇是隨 i 而變的，也就是說對每個函數，浮動的形式都不一樣。而對於等度連續，鄰域 V 的選擇不隨 i 而變，只取決於 x 和 ${\displaystyle \varepsilon }$。而在一致等度連續中，V 的選擇只取決於 ${\displaystyle \varepsilon }$ 了。

參見

• 一致連續
• 阿爾澤拉-阿斯科利定理
• 緊空間