米迪定理

米迪定理說明如果將${\displaystyle {\frac {a}{p}}}$化為b進制小數（其中p為質數，a是小於p的正整數），且小數的循環節長度是偶數^{[注 1]}，則有以下性質：

• 若將這個分數用循環小數寫成${\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}a_{n+1}...a_{2n}}}}$，則
• ${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=b-1}$
• ${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^{n}-1.}$

這個定理還可再推廣為廣義米迪定理：若把長度2n的循環節劃分為長度為k的${\displaystyle {\frac {2n}{k}}}$個組，即${\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}}}$，則${\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{k}+a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}+...+a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}}$是${\displaystyle b^{k}-1}$的倍數。

例

${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}}$（10進制）

循環節長度是16，是偶數，可應用米迪定理。

• 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1……
• ${\displaystyle 05882352+94117647=10^{8}-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$（10進制）

循環節長度是18，是偶數，可應用米迪定理。

• 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1……
• ${\displaystyle 052631578+947368421=10^{9}-1}$
• ${\displaystyle 052631+578947+368421=10^{6}-1}$（廣義米迪定理，k=6）
• ${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^{3}-1)}$（廣義米迪定理，k=3）

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}}$

• ${\displaystyle 032_{8}+745_{8}=777_{8}}$
• ${\displaystyle 03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.}$

定理的證明

米迪定理可以用群論中的結果來證明。然而，也可以用算術和同餘來證明米迪定理：

設p為質數，a/p是0與1之間的分數。假設在b進制中，a/p的展開式的週期為l，所以：

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=[a_{1}a_{2}\dots a_{l}.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{l}-1}}}$

其中N是在b進制中的展開式為a₁a₂...a_l的整數。

因為${\displaystyle {\frac {a}{p}}(b^{l}-1)=N}$且N為整數，所以${\displaystyle b^{l}-1}$必為p的倍數。另外，對於任何小於l的n，bⁿ−1都不是p的倍數，否則在b進制中a/p的週期將小於l，這是不可能的。

現在，假設l=hk。那麼b^l−1是b^k − 1的倍數。設b^l − 1 = m(b^k − 1)，因此：

${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$

但b^l−1是p的倍數；b^k−1不是p的倍數（因為k小於l）；且p是質數；因此m一定是p的倍數，且

${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}$

是整數。也就是說：

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}$

現在，把a₁a₂...a_l分成h個長度為k的部分，並設它們在b進制中表示N₀...N_h − 1，所以：

${\displaystyle N_{h-1}=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}}$

${\displaystyle N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle N_{0}=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}}$

為了證明b進制中廣義的米迪定理，我們必須證明h個整數N_i的和是b^k − 1的倍數。

由於b^k被b^k−1除餘1，任何b^k的冪被b^k − 1除也餘1。因此：

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}$

${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}$

這就證明了b進制中廣義的米迪定理。

為了證明原先的米迪定理，取h = 2的特殊情況。注意N₀和N₁在b進制中都由k個數字表示，所以都滿足

${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$

N₀和N₁不能都等於0（否則a/p = 0），也不能都等於b^k − 1（否則a/p = 1），因此：

${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$

由於N₀ + N₁是b^k − 1的倍數，所以有：

${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$