綜合除法

綜合除法是一種簡便的多項式除法，只需加、乘兩種運算。一般的綜合除法可計算除式為一次多項式時的多項式除法。

被除數的未知數應是降冪排列，抽取係數用以計算。如果除式中的首項係數不是${\displaystyle 1}$，使用綜合除法前應先提取除式的首項係數。

一般的綜合除法

設被除式為

${\displaystyle F(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

設除式為

${\displaystyle G(x)=x-r\,\!}$

設商為

${\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$

另外有一個餘數s

1. 分離${\displaystyle F(x)}$的係數，按降冪寫下，再把${\displaystyle r}$寫在左邊，像這樣:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline \end{array}}}$

2. 把最左邊的係數${\displaystyle a_{n}}$直接拖下來，它就是商的最高次項係數：

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}}$

3. 把下邊的最左邊一個數乘上${\displaystyle r}$，寫到行上邊的右邊一位：

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}}$

4. 上下兩數相加，寫到這一列的行下:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&~&~&~\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&~&~&~\\\end{array}}}$

5. 重複第3，4步，直到沒有剩下的數了:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&\cdots &b_{1}r&b_{0}r\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

b的值是商${\displaystyle Q(x)}$的係數，商的次數比被除式的次數少${\displaystyle 1}$。最後的${\displaystyle s}$是餘數。

例如${\displaystyle 2x^{2}+5x+3}$除以${\displaystyle 2x-3}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}~&2&5&3\\{\dfrac {3}{2}}&~&3&12\\\hline ~&2&8&15\\\end{array}}}$

因為除數用的是3/2，而不是3，所以還需將所得的係數除以2，

故商式為${\displaystyle x+4}$，餘式為${\displaystyle 15}$。

${\displaystyle 2x^{2}+5x+3=(2x+8)\left(x-{\frac {3}{2}}\right)+15=(x+4)(2x-3)+15}$

推廣的綜合除法

推廣的綜合除法可計算除式為任意多項式的多項式除法。^[1]

例如${\displaystyle x^{3}-12x^{2}-42}$除以${\displaystyle x^{2}+x-3}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}~&1&-12&0&-42\\3&~&~&3&-39\\-1&~&-1&13&~\\\hline ~&1&-13&16&-81\\\end{array}}}$

商式為${\displaystyle x-13}$，餘式為${\displaystyle 16x-81}$。

${\displaystyle x^{3}-12x^{2}-42=(x-13)(x^{2}+x-3)+16x-81}$