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線性化
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數學上的線性化(linearization)是找函數在特定點的線性近似,也就是函數在該點的一階泰勒級數。在動力系統研究中,線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統,在特定平衡點局部穩定性的一種方法[1]。 此方法常應用在工程學、物理學、經濟學及生態學的應用中。
函數的線性化
函數的線性化為線性函數。針對函數,若要用在任意點下的值及其圖形斜率來進行近似時,假設在(或)區間內可微,且b鄰近a,線性化是可以有效近似的方法。簡單來說,線性化就是在點附近,以直線來近似函數的值。例如,那麼針對,利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。
針對任意函數,在已知可微分點附近的位置,都可以被近似。最基本的要求是,其中是在的線性化。一次方程的圖形會形成直線,例如通過點 ,斜率為為直線。方程式的一般形為。
若是配合點,即變成。因為可微分函數是局部線性,該點的斜率可以用在點切線的斜率來代替。
函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點,相對來說比較接近的點,其線性近似的效果也會比較好。斜率最準確的值會是在點的切線斜率。

旁邊的圖可以說明在點的切線。在位置,其中是小的正值或是負值,非常接近點的切線。
函數在點線性化的最終方程為:
針對,。函數的導數為,而函數在點的斜率為。
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例子
若要找,可以用的資訊。函數在點的線性化為,因為函數定義了函數在點的斜率。
代入,其線性化結果為。
針對的例子,可得近似。其實際值為2.00024998,非常接近,此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。
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多變數函數的線性化
函數在點線性化的方程式為:
多變數函數在點線性化的通式為
其中是變數向量,而是要線性化的點[2]。
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線性化的應用
配合線性化的技術,可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒級數的一階展開。針對以下的系統
- ,
其線性化系統為
其中是要觀測的特定點,而是在點所計算的雅可比矩陣。
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在自治系統的穩定性分析中,可以用在雙曲平衡點計算雅可比矩陣的特徵值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論的內容。若是時變系統,其線性化需要考量其他的因素[3]。
在微觀經濟學中,決策規則可以用狀態空間下線性化的作法來近似[4]。若以此方式分析,效用最大化的歐拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化[4]。所得動態方程的系統的唯一解即為其解[4]。
在最優化中,成本函數以及非線性成份都可以線性化,以使用一些線性的求解方式(例如單純形法)。最佳化的結果可以更有效率的產生,而且是決定性的全域極值。
在多物理場系統(系統中有多個不同物理領域的模型,彼此互相影響)中,可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統,可以用monolithic的迭代來求解(例如牛頓法)。這類的例子包括MRI scanner系統,包括了電磁系統、力學系統及聲學系統[5]
相關條目
參考資料
外部連結
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