古典極限

古典極限（或稱對應極限）是物理理論在其某個參數取特定值時能夠用古典理論近似，或者說「還原」為古典理論的能力^[1]。物理學家通常會考察那些預測非古典行為的物理理論的古典極限。

量子理論

尼爾斯·波耳曾將一個啟發式的原理，對應原理，引入量子理論，即從實際效果而言，當普朗克常數對於系統的作用趨近於零時，需要引入量子系統的古典極限這樣的連續性表述。通常量子情形向古典情形的過度是由「准古典方法」（如WKB近似）實現的。^[2]

更為嚴格來說，古典極限涉及到的數學操作是群收縮（英語：group contraction）。通過這一操作可以將相關行為不受普朗克常數影響的系統進行近似，使得變換參數ħ/S可取為零^[a]。量子力學中的對易算符在群收縮中也可以還原為古典力學中的卜瓦松括號^[3]。

在量子力學中，由於不確定性原理，電子的動能永遠非零，這一結果在古典力學中並不存在。例如，考察一個相對於電子而言體量非常的物體，如棒球，儘管依據不確定性原理，其確實具有一個非零動量，但由於動能的不確定度相對而言非常之小，以至於在人眼觀察時，其可以視為靜止，也可以遵循古典力學定律。通常，如果將量子力學原理用於分析宏觀系統時，其分析結果與利用古典力學得到的結果相同。但對於量子混沌（英語：quantum chaos）系統而言，古典極限可能就並不那麼清晰了。

量子力學與古典力學的數學表述並不相同：量子力學使用希爾伯特空間表徵系統的狀態，古典力學則對應地採用相空間進行表徵。但存在可以使兩種理論在共同的數學框架下表述的方法。量子力學的相空間表述體現了量子力學與古典統計力學之間邏輯與性質上的聯繫^[4]。對應地，伯納德·庫普曼（英語：Bernard Koopman）與約翰·馮·諾伊曼曾在1932年提出一種古典力學的表述方式（英語：Koopman–von Neumann classical mechanics）。他們將量子力學中常用的希爾伯特的算符利用於古典力學^[5][6][7]。

保羅·狄拉克在其1933年發表的一篇重要論文中提出古典力學是量子力學的湧現^[8]：非極限情況的宏觀行為，即S » ħ時，會導致路徑間產生破壞性干涉從而消去他引入的路徑積分的影響，產生極限行為，S_古典，因而古典行為路徑將成為主路徑。這一結果後來又由理察·費曼在其1942年提交的博士學位論文中進一步深化^[9][b]。

相對論及其他變換

其他重要的變換包括牛頓力學與狹義相對論之間的變換，其變換參數為v/c。古典極限是在速度較小時取得的，即v/c→0時，系統會遵守古典力學定律。牛頓重力理論與廣義相對論也可以進行類似變換，其變換參數為史瓦西半徑與特徵長度之比。在古典極限情況下，即物體質量與普朗克長度之積遠小於其尺寸時，物體會遵守古典重力定律，即平坦時空下的情況。

波動光學也可以變形為幾何光學，變換參數為λ/a。統計力學也可以變形為熱力學，其變換參數為1/N。