纖維叢

纖維叢（英語：fiber bundle ），在數學上，特別是在拓撲學中，是一個局部看來像直積空間，但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射

${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$

${\displaystyle E}$和乘積空間${\displaystyle B\times F}$的局部類似性可以用映射 ${\displaystyle \pi }$ 來說明。也就是說：在每個${\displaystyle E}$的局部空間 ${\displaystyle U}$，都存在一個相同的${\displaystyle F}$（${\displaystyle F}$稱作纖維空間），使得 ${\displaystyle \pi }$ 限制在 ${\displaystyle U}$ 上時　與直積空間${\displaystyle B\times F}$的投影${\displaystyle P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b}$　相似。（通常會用此滿射：${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$來表示一個纖維叢，而忽略${\displaystyle F}$）

如果${\displaystyle E=B\times F}$，也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做平凡叢（trivial bundle）。

纖維叢擴展了向量叢(vector bundle)，向量叢的主要實例就是流形的切線束（tangent bundle）。他們在微分拓撲和微分幾何領域有著重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。

正式定義

一個纖維叢由四元組（${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$）組成，其中${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle F}$是拓撲空間而${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$是一個連續滿射，滿足下面給出的局部平凡（local triviality）條件。${\displaystyle B}$稱為叢的基空間（base space），${\displaystyle E}$稱為總空間（total space），而${\displaystyle F}$稱為纖維（fiber）。映射${\displaystyle \pi }$稱為投影映射.下面我們假定基空間${\displaystyle B}$是連通的。

我們要求對於${\displaystyle B}$中的每個點${\displaystyle x}$，存在一個在${\displaystyle B}$中 包含${\displaystyle x}$的開鄰域${\displaystyle U}$，並有一個同胚映射${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$ (顯然${\displaystyle U\times F}$是一個乘積空間) ，${\displaystyle \varphi }$並且要滿足 ${\displaystyle \textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)}$，也就是下圖是可交換的：

其中${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\rightarrow U}$是自然投影而${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$是一個同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 ${\displaystyle \textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F}$）。所有${\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}}$的集合稱為叢的局部平凡化。

對於${\displaystyle B}$中每點${\displaystyle p}$，原象（preimage）${\displaystyle \pi ^{-1}(p)}$和${\displaystyle F}$同胚並稱為點${\displaystyle p}$上的纖維。一個纖維叢（${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$）經常記為

${\displaystyle F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B}$

以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維叢${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以${\displaystyle B}$有由映射${\displaystyle \pi }$決定的商拓撲(quotient topology).

一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是，${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle F}$都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射。

例子

令${\displaystyle E=B\times F}$並令${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$為對第一個因子的投影，則${\displaystyle E}$是${\displaystyle B}$上的叢。這裡${\displaystyle E}$不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢。

莫比烏斯帶是圓上的非平凡叢。

最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶（Möbius strip）。莫比烏斯帶是一個以圓為基空間${\displaystyle B}$並以線段為纖維${\displaystyle F}$的叢。對於一點${\displaystyle x\in B}$的鄰域是一段圓弧；在圖中，就是其中一個方塊的長。原象${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$在圖中是個（有些扭轉的）切片，4個方塊寬一個方塊長。同胚${\displaystyle \varphi }$把${\displaystyle U}$的原象映到柱面的一塊：彎曲但不扭轉。

相應的平凡叢${\displaystyle B\times F}$看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。

一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個「扭轉」的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環，${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$。

一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。

纖維叢的一個特例，叫做向量叢,是那些纖維為向量空間的叢（要成為一個向量叢，叢的結構群—見下面—必須是一個線性群）。向量叢的重要實例包括光滑流形的切線束和餘切叢。

另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。

一個球叢是一個纖維為n維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢（例如黎曼流形的切線束），可以構造一個相應的單位球叢，其在一點${\displaystyle x}$的纖維是所有${\displaystyle E_{x}}$的單位向量的集合.

截面

主條目：截面 (纖維叢)

纖維叢的截面（section或者cross section）是一個連續映射${\displaystyle f:B\rightarrow E}$使得${\displaystyle \pi (f(x))=x}$對於所有${\displaystyle B}$中的${\displaystyle x}$成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢定和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。

截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。纖維叢的局部截面是一個連續映射${\displaystyle f:U\rightarrow E}$其中${\displaystyle U}$是一個${\displaystyle B}$中的開集而${\displaystyle \pi (f(x))=x}$對所有${\displaystyle U}$中的${\displaystyle x}$成立。若${\displaystyle (U,\varphi )}$是一個局部平凡化圖，則局部截面在${\displaystyle U}$上總是存在的。這種截面和連續映射${\displaystyle U\rightarrow F}$有1-1對應。截面的集合組成一個層（sheaf）。

結構群和轉移函數

纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。特別的，令${\displaystyle G}$為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間${\displaystyle F}$上。不失一般性的，我們可以要求${\displaystyle G}$有效的作用在${\displaystyle F}$上，以便把它看成是${\displaystyle F}$的同胚群。纖維叢的一個${\displaystyle G}$-圖冊（${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$）是之前定義過的局部平凡化並且滿足：對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖${\displaystyle (U_{i},\varphi _{i})}$和${\displaystyle (U_{j},\varphi _{j})}$且 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$，則函數

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F}$

是由以下方式給出：

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F}$

其中 ${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$ 是一個稱為轉移函數（transition function）的連續映射。兩個${\displaystyle G}$-圖冊是等價的如果他們的聯集也是${\displaystyle G}$-圖冊。一個${\displaystyle G}$-叢是有${\displaystyle G}$-圖冊等價類的纖維叢。群${\displaystyle G}$稱為該叢的結構群（structure group）。

在光滑範疇中，一個${\displaystyle G}$-叢是一個光滑纖維叢，其中${\displaystyle G}$是一個李群而相應的在${\displaystyle F}$上的作用是光滑的並且轉換函數都是光滑映射。

轉移函數${\displaystyle t_{ij}}$滿足以下條件

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)}$

第三個條件用到三個相交的 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$上叫做餘鍵條件（cocycle condition，見Čech餘調）。

一個主叢是一個${\displaystyle G}$-叢，其纖維可以認為是${\displaystyle G}$本身，並且有一個在全空間上的${\displaystyle G}$的右作用保持纖維不變。

參見

• 向量叢
• 主叢
• 拉回叢（pullback bundle）
• 纖維化
• 覆蓋映射
• 規範場論

外部連結

• PlanetMath: Fiber Bundle
• MathWorld: Fiber Bundle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考

• Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.