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纖維叢

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纖維叢(英語:fiber bundle ),在數學上,特別是在拓撲學中,是一個局部看來像直積空間,但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射

和乘積空間的局部類似性可以用映射 來說明。也就是說:在每個的局部空間 ,都存在一個相同的稱作纖維空間),使得 限制在 上時 與直積空間的投影 相似。(通常會用此滿射:來表示一個纖維叢,而忽略

如果,也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做平凡叢(trivial bundle)。

纖維叢擴展了向量叢(vector bundle),向量叢的主要實例就是流形切線束(tangent bundle)。他們在微分拓撲微分幾何領域有著重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。

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正式定義

一個纖維叢由四元組(, , , )組成,其中, , 拓撲空間是一個連續滿射,滿足下面給出的局部平凡(local triviality)條件。稱為叢的基空間(base space),稱為總空間(total space),而稱為纖維(fiber)。映射稱為投影映射.下面我們假定基空間連通的。

我們要求對於中的每個點,存在一個在中 包含的開鄰域,並有一個同胚映射 (顯然是一個乘積空間) ,並且要滿足 ,也就是下圖是可交換的:

Thumb

其中是自然投影而是一個同胚(這裡的局部平凡條件有些書會定義為 )。所有的集合稱為叢的局部平凡化

對於中每點,原象(preimage)同胚並稱為點上的纖維。一個纖維叢(, , , )經常記為

以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維叢都是一個開映射,因為積空間的投影是開映射。所以有由映射決定的商拓撲(quotient topology).

一個光滑纖維叢是一個在光滑流形範疇內的纖維叢。也就是,, , 都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射

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例子

並令為對第一個因子的投影,則上的叢。這裡不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢

Thumb
莫比烏斯帶是圓上的非平凡叢。

最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶(Möbius strip)。莫比烏斯帶是一個以為基空間並以線段為纖維的叢。對於一點的鄰域是一段圓弧;在圖中,就是其中一個方塊的長。原象在圖中是個(有些扭轉的)切片,4個方塊寬一個方塊長。同胚的原象映到柱面的一塊:彎曲但不扭轉。

相應的平凡叢看起來像一個圓柱,但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來;局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣(在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間)。

一個類似的非平凡叢是克萊因瓶,它可以看作是一個「扭轉」的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環,

一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。

纖維叢的一個特例,叫做向量叢,是那些纖維為向量空間的叢(要成為一個向量叢,叢的結構群—見下面—必須是一個線性群)。向量叢的重要實例包括光滑流形的切線束餘切叢

另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。

一個球叢是一個纖維為n維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢(例如黎曼流形的切線束),可以構造一個相應的單位球叢,其在一點的纖維是所有的單位向量的集合.

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截面

纖維叢的截面(section或者cross section)是一個連續映射使得對於所有中的成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面,理論的一個重要作用就是檢定和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲示性類理論。

截面經常只被局部的定義(特別是當全局截面不存在時)。纖維叢的局部截面是一個連續映射其中是一個中的開集對所有中的成立。若是一個局部平凡化圖,則局部截面在上總是存在的。這種截面和連續映射有1-1對應。截面的集合組成一個(sheaf)。

結構群和轉移函數

纖維叢經常有一個對稱描述重疊的圖之間的相容條件。特別的,令為一個拓撲群,它連續的從左邊作用在纖維空間上。不失一般性的,我們可以要求有效的作用在上,以便把它看成是同胚群。纖維叢的一個-圖冊, , , )是之前定義過的局部平凡化並且滿足:對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖,則函數

是由以下方式給出:

其中 是一個稱為轉移函數(transition function)的連續映射。兩個-圖冊是等價的如果他們的聯集也是-圖冊。一個-叢是有-圖冊等價類的纖維叢。群稱為該叢的結構群(structure group)。

在光滑範疇中,一個-叢是一個光滑纖維叢,其中是一個李群而相應的在上的作用是光滑的並且轉換函數都是光滑映射。

轉移函數滿足以下條件

第三個條件用到三個相交的 上叫做餘鍵條件(cocycle condition,Čech餘調)。

一個主叢是一個-叢,其纖維可以認為是本身,並且有一個在全空間上的的右作用保持纖維不變。

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參見

外部連結

參考

  • Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.
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