自由模

在抽象代數中，一個環 ${\displaystyle R}$ 上的自由模是帶有基底的模。

定義

一個自由 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle R}$-模範疇中的自由對象。具體言之，即存在一族元素 ${\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}}$（可能有無限多個）使得：

• 任何 ${\displaystyle m\in M}$ 都可表成它們的線性組合 ${\displaystyle m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}}$，其中只有有限個 ${\displaystyle r_{i}}$ 非零。
• 若 ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}}$，則 ${\displaystyle \forall i,\;r_{i}=r_{i}'}$。

等價說法是：${\displaystyle M\simeq R^{I}}$。此時 ${\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}}$ 稱作 ${\displaystyle M}$ 的一組基底。

性質

• ${\displaystyle M}$ 的秩可定義為 ${\displaystyle I}$ 的基數，與基底選取無關。
• 自由模皆是射影模，也是平坦模。
• 若接受選擇公理，則任何除環上的模都是自由模，例如域上的向量空間。