自由邏輯

自由邏輯是免除存在性假定的邏輯。或者說，它是定理在包括空域的所有論域中都有效的邏輯。

解說

在經典邏輯中，有些定理明確的假定在論域中必須有東西。考慮下列經典的有效定理。

1. ${\displaystyle \forall xA(x)\rightarrow \exists xA(x)}$;

2. ${\displaystyle \forall xA(x)\rightarrow A(r/x)}$（這裡的 ${\displaystyle r}$ 對於 ${\displaystyle A(x)}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 不自由出現，而 ${\displaystyle A(r/x)}$ 是代換 ${\displaystyle A(x)}$ 中 ${\displaystyle x}$ 的所有自由出現的結果）;

3. ${\displaystyle A(r)\rightarrow \exists xA(x/r)}$（這裡的 ${\displaystyle r}$ 對於 ${\displaystyle A(x)}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 不自由出現）。

在等價理論中的一個有效的模式展示了同樣的特徵

4. ${\displaystyle \forall x(F(x)\rightarrow G(x))\land \exists xF(x)\rightarrow \exists x(F(x)\land G(x))}$。

非形式的，如果 ${\displaystyle F}$ 是『 ${\displaystyle =y}$』, ${\displaystyle G}$ 是『是天馬』，而我們代換 ${\displaystyle y}$ 為『天馬』，則 (4) 就允許我們從『同一於天馬的所有東西都是天馬』推出某些東西同一於天馬。問題來自把變量代換為無指派(nondesignating)的常量: 事實上，我們在一階邏輯的標準公式中不能這麼做，因為這裡沒有無指派常量。古典上，${\displaystyle \exists x(x=y)}$ 是通過特殊化(就是前面的(3))而演繹自開放等價公理 ${\displaystyle y=y}$。

在自由邏輯中，(1)被替代為

1b. ${\displaystyle \forall xA(x)\land E!t\rightarrow \exists xA(x)}$, 這裡的 ${\displaystyle E!}$ 是一個存在謂詞（在自由邏輯的某些但不是所有的公式中，${\displaystyle E!t}$ 可以被定義為 ${\displaystyle \exists y(y=t)}$）。

可以對存在性引入的其他定理做類似的修改(比如，特殊化規則變成為${\displaystyle (A(r)\rightarrow (E!r\rightarrow \exists xA(x)))}$。

自由邏輯的公理化由 Hintikka (1959)、Lambert (1967)、Hailperin (1957) 和 Mendelsohn (1989) 給出。

來源

• K. Lambert, "Existential Import Revisited", Notre Dame Journal of Formal Logic, October 1963, p.288-292