自由黎曼氣體

自由黎曼氣體模型（英語：free Riemann gas model），又名素數子氣體模型（英語：Primon gas model）或素數氣體模型（英語：Prime number gas model）^[1]，是統計物理學和量子場論中的一個玩具模型。該模型刻畫了素數理論與一個假想的、無相互作用的量子場理論之間的對應關係；後者的激發態被稱為「素數子」（英語：Primon）。1990年，唐納德•斯佩克特和伯納德•朱利亞兩人彼此獨立地提出了這一模型；隨後，巴卡斯，博威克和斯佩克特進一步研究了該理論與更為複雜的模型（例如弦論）之間的關聯。^[2][3][4][5]

模型

考慮一個無相互作用的全同玻色子構成的量子系統。假設每個粒子有可列多個分立能級：

${\displaystyle \epsilon _{1}<\epsilon _{2}<\epsilon _{3}...}$，且：

${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}...}$是與之對應的湮滅算子。則真空態${\displaystyle |\Omega \rangle }$和所有粒子態：

${\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...\rangle \equiv (a_{1}^{\dagger })^{k_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{k_{2}}...|\Omega \rangle }$，${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }$

張成了態空間的一組正交基。令：

${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}...}$

為全體素數的構成的升序列。則如下的映射：

${\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...\rangle \mapsto N\equiv p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}...}$

是這組正交基到正整數的雙射，後者由因數分解的唯一性保證。因此，系統的任意粒子態都可以用正整數唯一標記。在數學文獻中，這種標記方法被稱為哥德爾編號。^[1][2]

能級和正則配分函數

現在假設單粒子態的能量滿足：

${\displaystyle \epsilon _{i}=\ln p_{i}}$

滿足上述性質的假想粒子稱為素數子。此時，對於任意一個粒子態${\displaystyle |N\rangle }$，其能量${\displaystyle E_{N}}$都滿足：

${\displaystyle E_{N}=\sum _{i=1}^{\infty }k_{i}\epsilon _{i}=\sum _{i=1}^{\infty }k_{i}\ln p_{i}=\ln N}$

該系統在參數為${\displaystyle \beta }$的正則系綜下的配分函數為黎曼函數：

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{N=1}^{\infty }\exp(-\beta E_{N})=\sum _{N=1}^{\infty }{\frac {1}{N^{\beta }}}=\zeta (\beta )}$

另一方面，配分函數可以寫成如下的連乘積：

${\displaystyle Z(\beta )=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-\exp(-\beta \epsilon _{i})}}=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{i}^{-\beta }}}}$

即得歐拉乘積公式。^[1][2]

超素數子

上述素數子氣體模型可以自然地推廣到超對稱的情形。在超對稱模型中，每個玻色場的湮滅算子都存在一個與之對應的費米場的湮滅算子；令後者為：

${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}...}$

如此，該模型的粒子態具有如下形式：

${\displaystyle |k_{1},k_{2},k_{3}...l_{1},l_{2},l_{3}...\rangle \equiv (a_{1}^{\dagger })^{k_{1}}(a_{2}^{\dagger })^{k_{2}}...(f_{1}^{\dagger })^{l_{1}}(f_{2}^{\dagger })^{l_{2}}...|\Omega \rangle }$，${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle l_{i}\in \{0,1\}}$

由於泡利不相容原理，每個費米場此時，每個粒子態可以利用如下定義的兩個正整數標記：

${\displaystyle N\equiv p_{1}^{k_{1}+l_{1}}p_{2}^{k_{2}+l_{2}}p_{3}^{k_{3}+l_{3}}...}$

${\displaystyle d\equiv p_{1}^{l_{1}}p_{2}^{l_{2}}p_{3}^{l_{3}}...}$

類似地，任意一個正整數${\displaystyle N}$和${\displaystyle N}$的任何一個不含平方數因數的因數${\displaystyle d}$構成的數對${\displaystyle (N,d)}$唯一決定了該模型中的一個粒子態。其中，粒子態的能量僅由${\displaystyle N}$決定，而其自旋統計性質僅取決於${\displaystyle d}$。

注意到如此構建的粒子態恰好為算子${\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}$的本徵態：

${\displaystyle (-1)^{\hat {F}}|N,d\rangle =\mu (d)|N,d\rangle }$

其中函數${\displaystyle \mu (d)}$滿足：

${\displaystyle \mu (d)=+1}$，若${\displaystyle d}$的素因子數目為偶；

${\displaystyle \mu (d)=-1}$，若${\displaystyle d}$的素因子數目為奇。

因此${\displaystyle \mu (d)}$為默比烏斯函數。^[2]

威騰指標與素數定理

算子${\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}$在參數為${\displaystyle \beta }$的正則系綜中的平均值為威騰指標：

${\displaystyle \Delta \equiv \mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}})(-1)^{\hat {F}})}$

由於模型中費米場與玻色場沒有相互作用，求跡運算可以對玻色自由度和費米自由度分別進行：

${\displaystyle \Delta =\mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{f})(-1)^{\hat {F}})\mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{b}))}$

${\displaystyle \mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{b}))=Z(\beta )=\zeta (\beta )}$

${\displaystyle \mathbf {Tr} (\exp(-\beta {\hat {H}}_{f})(-1)^{\hat {F}})=\sum _{d}\exp(-\beta {\hat {E}}_{d})\mu (d)=\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{\beta }}}}$

另一方面，

${\displaystyle \Delta =\sum _{N=1}^{\infty }\sum _{d|N}\exp(-\beta E_{N})\mu (d)}$

由於超對稱性，算子${\displaystyle (-1)^{\hat {F}}}$在除真空態以外的任意具有確定${\displaystyle N}$的粒子態構成的子空間上的表示矩陣都是無跡的。因而：

${\displaystyle \sum _{d|N}\mu (d)=\delta _{N,1}}$

${\displaystyle \Delta =\exp(-\beta E_{1})=1}$

因此通過計算這個超對稱素數子模型的威騰指標，可以得到如下關於默比烏斯函數的恆等式：

${\displaystyle \sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{\beta }}}=\zeta ^{-1}(\beta )}$

利用這一公式可推出素數定理。^[2]

進一步推廣

量子場論與素數理論的這種關聯可以進一步地抽象為拓撲量子場論與K理論的關聯。為實現這一目的，可將素數推廣為素理想。