舒爾分解

在線性代數中，舒爾分解或舒爾上三角化是一種矩陣分解方法，得名於德國數學家伊沙海·舒爾（英語：Issai Schur）。

定理的陳述

舒爾分解定理表明，如果A是n階的複方陣，則存在n階么正矩陣Q，n階上三角矩陣U，使得：^[1][2][3]

${\displaystyle A=QUQ^{H}}$

即任何一個n階複方陣A酉相似於一個n階上三角矩陣U。因為A，U相似，所以兩者有相同的特徵值，且相同特徵值的代數重數也相同。又因U是上三角矩陣，所以U的對角元素實際上是A的所有特徵值。

該定理表明，存在Cⁿ的一個線性子空間序列{0} = V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... ⊂ V_n = Cⁿ，使得其中的每一個都是A（看成線性變換）的不變子空間。且存在Cⁿ（指定標準內積）的一組單位酉正交基，使得前i個基向量張成上述序列中第i個子空間。^[1]

定理的證明

以線性變換思想

把矩陣A看成是有限維酉空間Cⁿ上的線性變換，它有特徵值λ，所對應的特徵子空間為V_λ，令V_λ^⊥ 為它的正交補空間。分別取兩個空間的一組單位正交基(Z₁，Z₂)，它們構成原空間的一組單位正交基，則線性變換A在這組基下的矩陣表出為：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$

而A₂₂又可以看成是V_λ^⊥上的線性變換，又可以重複上述過程。（本質上，A₂₂是A在商空間Cⁿ\V_λ上引入的線性變換。）所以最終可以找到Cⁿ的一組基，使得A在這組基下的矩陣為上三角矩陣。^[1][2]

以矩陣思想

上述證明過程也可以用矩陣的語言複述。對n階矩陣採用數學歸納法:

1. k=1，顯然命題成立。
2. 若任何一個n-1階矩陣酉正交相似於一個上三角矩陣。則對一個n階矩陣，它有特徵值λ₁，對應特徵向量β。將β擴充為Cⁿ的一組單位正交基，並排列成矩陣V₁，則有：

${\displaystyle V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}}$

根據歸納假設，存在n-1階酉矩陣V₂和上三角矩陣T，使得：

${\displaystyle V_{2}^{-1}A_{1}V_{2}=T}$

所以有：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}}$

即：

${\displaystyle (V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})^{-1}A(V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}}$

令${\displaystyle U=V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}}$，顯然它是酉矩陣。由歸納假設，原命題成立。^[4][3]

計算

給定矩陣的舒爾分解可以用QR計算法求出。換言之，為求解矩陣的舒爾分解，並沒有必要求解其特徵多項式的根。另一方面，通過求解一個多項式的伴隨矩陣的舒爾分解，可以計算出它的所有根。類似地，通過舒爾分解，也可以計算給定矩陣的特徵值。^[5]

廣義舒爾分解

給定矩陣A和B，則存在酉矩陣Q、Z，上三角矩陣S、T，使得${\displaystyle A=QSZ^{-1}}$和${\displaystyle B=QTZ^{-1}}$同時成立。這被稱為廣義舒爾分解，有時也被稱為QZ分解。^[2]

廣義特徵值問題${\displaystyle det(A-\lambda B)=0}$的解是S、T對應的對角元的比值，即${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$。^[2]