若爾當矩陣

在數學中，特別是矩陣論裡，若爾當矩陣（英語：Jordan matrix）是矩陣的一種，又稱若爾當塊（英語：Jordan block）（作為另一個矩陣的一部分時）。當矩陣的係數在某個環 ${\displaystyle R}$ 上時（其中的加法單位元和乘法單位元分別記為0和1），若爾當矩陣可以寫成如下形式：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}$

其對角線上全都是同一個元素 ${\displaystyle \lambda \in R}$，而對角線上一排（即所有第 ${\displaystyle k}$ 行第 ${\displaystyle k+1}$ 列）都是 ${\displaystyle 1}$，其餘位置上都是 ${\displaystyle 0}$。

可以看到只要確定了對角線上的係數${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ 和矩陣的大小${\displaystyle \scriptstyle n}$，就確定了一個若爾當矩陣。這樣一個若爾當矩陣被記為${\displaystyle \displaystyle J_{\lambda ,n}}$。

如果一個分塊對角矩陣的每一個分塊都是若爾當塊，那麼這個矩陣叫做若爾當形矩陣，或若爾當標準型。例如以下矩陣：

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},m_{1}}&0&0&\cdots &0\\0&J_{\lambda _{2},m_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&J_{\lambda _{s-1},m_{s-1}}&0\\0&0&0&0&J_{\lambda _{s},m_{s}}\\\end{bmatrix}}}$

以上的若爾當形矩陣也可以記成${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \ldots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$

若爾當矩陣${\displaystyle \displaystyle J_{\lambda ,n}}$ 可以分解為

${\displaystyle J_{\lambda ,n}=\lambda I_{n}+N}$

其中 ${\displaystyle I_{n}}$ 是 ${\displaystyle n}$ 階的單位矩陣，而 ${\displaystyle N}$ 則是一個冪零矩陣：

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

矩陣 ${\displaystyle N}$ 滿足 ${\displaystyle N^{n}=0}$。

參見

• 若爾當-謝瓦列分解
• 若爾當標準型
• 全純函數
• 矩陣指數
• 矩陣對數
• 動態系統
• 分歧理論
• 狀態空間

參考來源

• 金朝嵩、段正敏、王漢明. 线性代数. 清華大學出版社. 2006年.