範疇 (數學)

在範疇論中，範疇這一概念代表一些數學對象及這些對象間的一些關係，以及這些關係之間的關係。利用範疇可以公式化抽象結構並保留結構上的關係，如運算。範疇幾乎可以出現於現代數學的任意分支，同時也統合了這些分支的底層理念。對範疇本身的研究就稱作範疇論。

定義

範疇

一個範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 意指資料 ${\displaystyle (\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}},\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}};\circ )}$，其中：

• 一個由對象（Object）所構成的類 ${\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$；
• 物件間的態射（Morphism）所構成的類 ${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$。每一個態射 ${\displaystyle f\in {\mathrm {Mor\ } }{\mathcal {C}}}$ 均蘊含確定的「始對象（Domain）」${\displaystyle A}$ 和「終對象（Codomain）」${\displaystyle B}$，且 ${\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$。此時記 ${\displaystyle f\colon A\to B}$，稱 ${\displaystyle f}$ 為從 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle B}$ 的一個態射^{[注釋 1]}。所有由 ${\displaystyle A}$ 至 ${\displaystyle B}$ 的態射構成類，記作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}$，不致混淆時，也記作 ${\displaystyle \mathrm {Hom} \ (A,B)}$；
• 對任意態射對 ${\displaystyle (A,B)}$ 有態射複合 ${\displaystyle \circ }$ 如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ (-,-)\colon \ &\mathrm {Hom} \ (A,B)\times \mathrm {Hom} \ (B,C)&\to &\quad \mathrm {Hom} \ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto &\quad g\circ f,\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle g\circ f}$ 在不致混淆時也記作 ${\displaystyle gf}$。

此態射複合滿足下列公理：

• （結合律）對態射 ${\displaystyle f\colon A\to B}$，${\displaystyle g\colon B\to C}$ 和 ${\displaystyle h\colon C\to D}$，有 ${\displaystyle h(gf)=(hg)f}$；
• （么元）對任意對象 ${\displaystyle X}$，存在一態射 ${\displaystyle 1_{X}\in \mathrm {Hom} \ (X,X)}$，使得對任意態射 ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} \ (A,B)}$，均滿足 ${\displaystyle 1_{B}f=f=f1_{A}}$。態射 ${\displaystyle 1_{X}}$ 稱作「${\displaystyle X}$ 的單位態射」。

根據上述公理可以證明，對每個特定對象而言，單位態射具唯一性。在這樣的等價關係上，部分作者視對象與其單位態射為同一概念。^{[來源請求]}

圖 1：${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$ 間的映射

顯然，${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}$ 間自然地存在三個映射：${\displaystyle \mathrm {Id} \colon \ X\mapsto 1_{X}}$，${\displaystyle \mathrm {Dom} \colon \ f\mapsto A}$，${\displaystyle \mathrm {Cod} \colon \ f\mapsto B}$，如圖 1 所示。

小範疇和局部小範疇

一個範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 稱作小範疇（Small Category），若且唯若其態射類 ${\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}$ 比真類小，即僅有集合那麼大。

一個範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 稱作局部小範疇（Locally Small Category），若且唯若對任意對象對 ${\displaystyle (A,B)\in (\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}})^{2}}$，其對應的的態射類 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}$ 均為非真類的集合。

數學研究中，許多重要的範疇（例如集合的範疇），通常即使非小，也是局部小的。

範疇舉例

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

• 所有集合的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。^{[注釋 2]}
  • 所有預序關係的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Ord}}}$，其態射為單調函數。
  • 所有原群的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Mag}}}$，其態射為原群間的同態。
  • 所有群的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Group}}}$，其態射為群同態。
  • 所有阿貝爾群的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Ab}}}$，其態射為群同態。
  • 所有環的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Ring}}}$，其態射為環同態。^{[注釋 3]}
  • 所有於體 ${\displaystyle \mathbb {k} }$（維持固定）上的向量空間的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Vect}}_{\mathbb {k} }}$，其態射為線性映射。
  • 所有拓樸空間的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Top}}}$，其態射為連續函數。
  • 所有度量空間的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Met}}}$，其態射為度量映射。
  • 所有一致空間的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Uni}}}$，其態射為一致連續函數。
  • 所有光滑流形的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Man}}^{p}}$，其態射為 ${\displaystyle p}$ 次連續可微映射。
• 所有小範疇的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$，其態射為函子。
• 所有局部小範疇的範疇 ${\displaystyle {\mathsf {CAT}}}$。^{[注釋 4]}
• 所有集合的關係範疇 ${\displaystyle {\mathsf {Rel}}}$，其態射為關係。
• 任一預序集 ${\displaystyle (P,\preceq )}$ 均蘊含一個小範疇，其對象為 ${\displaystyle P}$ 的元，態射為有序對 ${\displaystyle (p,q)}$ 使得 ${\displaystyle p\preceq q}$。^{[注釋 5]}
• 任一么半群 ${\displaystyle M}$ 均蘊含一個攜唯一一個對象 ${\displaystyle x}$ 的小範疇 ${\displaystyle {\mathsf {B}}M}$。${\displaystyle {\mathsf {B}}M}$ 以 ${\displaystyle M}$ 中的元作為態射，每個態射各自表示 ${\displaystyle x}$ 上一個不同的自同態，而態射複合由 ${\displaystyle M}$ 的乘法給出。${\displaystyle M}$ 的么元 ${\displaystyle e\in M}$ 也作為 ${\displaystyle {\mathsf {B}}M}$ 這唯一一個對象的單位態射存在。可以將範疇這一概念視作么半群之延伸概念。
• 任意有向圖蘊含一個自然的小範疇，以圖的頂點為對象，有向路徑為態射，路徑串聯為態射複合。這被稱作由有向圖產生的「自由範疇」。
• 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

態射類型

一個態射 ${\displaystyle f\colon \ a\to b}$ 被稱為：

• 同構（Isomorphism），若且唯若存在態射 ${\displaystyle g\colon \ b\to c}$，滿足 ${\displaystyle gf=1_{a},\,fg=1_{b}}$，換言之，存在逆；
• 自態射（Endomorphism），若且唯若 ${\displaystyle b=a}$，即 ${\displaystyle f}$ 是從 ${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle a}$ 自身的態射；
• 自同構（Automorphism），若且唯若 ${\displaystyle f}$ 同時為同構與自態射；
• 單態射（Monomorphism），若且唯若對任意態射 ${\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (x,\,a)}$，${\displaystyle fh=fk}$ 均蘊含 ${\displaystyle h=k}$；
• 滿態射（Epimorphism），若且唯若對任意態射 ${\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (b,\,x)}$，${\displaystyle hf=kf}$ 均蘊含 ${\displaystyle h=k}$；
• ${\displaystyle g\colon \ b\to a}$ 的截面（Section），若且唯若 ${\displaystyle gf=1_{a}}$，也稱作 ${\displaystyle g}$ 的右逆（Right Reverse）或分裂單態射（Split Monomorphism）；
• ${\displaystyle g\colon \ b\to a}$ 的收縮（Retraction），若且唯若 ${\displaystyle fg=1_{b}}$，也稱作 ${\displaystyle g}$ 的左逆（Left Reverse）或分裂滿態射（Split Epimorphism）；

也記 ${\displaystyle a}$ 上的所有自態射構成類 ${\displaystyle \mathrm {End} \ a}$，所有自同構構成類 ${\displaystyle \mathrm {Aut} \ a}$。

下述三個命題是等價的：

1. ${\displaystyle f}$ 是單態射且是收縮。
2. ${\displaystyle f}$ 是滿態射且是截面。
3. ${\displaystyle f}$ 是同構。

態射之間的關係（例如 ${\displaystyle fg=h}$）可以非常方便地表示為交換圖表，其中物件表示為點，態射表示為箭頭。

特別的範疇

子範疇

給定一個範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，稱範疇 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 之子範疇（Subcategory），若且唯若：

• ${\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$，
• ${\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}$，
• 同時，態射複合仍然保持。

群胚

稱 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為一群胚（Groupoid），若且唯若其中所有態射為同構。

• 群可被定義作具唯一一個對象的群胚；

任意範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 均內含一個最大群胚（Maximal Groupoid），為包含全部 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的對象，而包含且僅包含全部自態射作為態射的子範疇。

對偶範疇

令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為一範疇，規定其對偶範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ 如下：

• 以 ${\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$ 為 ${\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$；
• 由如下從 ${\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}$ 到 ${\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ 的一一對應函子完全生成後者：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}\qquad &\to &\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\\f\colon \ X\to Y\quad &\mapsto &f^{\mathrm {op} }\colon \ Y\to X\end{aligned}}}$

其中滿足：${\displaystyle \forall f,g\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}},(f\circ _{\mathcal {C}}g)^{\mathrm {op} }:=g^{\mathrm {op} }\circ _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}f^{\mathrm {op} }}$。

利用對偶範疇可證明如下的對偶定理：

定理：下列三條定理等價：

1. ${\displaystyle f\colon \ x\to y}$ 為範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的一個同構（雙態射）；
2. 對所有對象 ${\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$，${\displaystyle f}$ 上的後複合定義了雙射 ${\displaystyle f_{*}\colon \ \mathrm {Hom} (c,x)\to \mathrm {Hom} (c,y)}$；
3. 對所有對象 ${\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}$，${\displaystyle f}$ 上的前複合定義了雙射 ${\displaystyle f^{*}\colon \ \mathrm {Hom} (y,c)\to \mathrm {Hom} (x,c)}$；

積範疇

對任意範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$，定義其積範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$ 如下：

• 以形如 ${\displaystyle (c,\,d)}$ 的有序對為對象，其中 ${\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}},\,d\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}}$，
• 以形如 ${\displaystyle (f,\,g)\colon \ (c,\,d)\to (c',\,d')}$ 的有序對為態射，同時
• 結合律與單位態射也如此被逐分量定義。

圖 2：逗號範疇之態射

逗號範疇

給定函子 ${\displaystyle F\colon \ {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\,G\colon \ {\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}}$，定義其逗號範疇 ${\displaystyle F\downarrow G}$ 如下：

• 以有序三元組 ${\displaystyle (d,\,e,\,f\colon \ Fd\to Ge)\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Ob} \ {\mathcal {E}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}$ 為對象，

• 以有序對 ${\displaystyle (h\colon \ d\to d',\,k\colon \ e\to e')\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {E}}}$ 為態射，使得對於每個 ${\displaystyle (h,\,k)\colon \ (d,\,e,\,f)\to (d',\,e',\,f')}$，圖 2 在 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中交換， 即：使得 ${\displaystyle f'\circ Fh=Gk\circ f}$。

範疇類型

• 在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (a,\,b)}$ 不僅是集合，而且還是阿貝爾群，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構兼容，即複合映射是雙線性的。這種範疇稱為預可加範疇。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積和上積，那麼我們稱之為可加範疇。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。
• 範疇是完備的當其擁有所有極限。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。
• 範疇是笛卡爾閉的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特連續函數組成的範疇。
• 拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。