莫蘭指數

統計學中，莫蘭指數（Moran's I）是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一種空間自相關度量。^[1][2]空間自相關即空間中鄰近的位置之間存在相關性。空間自相關比一維自相關更複雜，因為空間相關性是多維的（即空間的二維或三維）和多方向的。

圖中白色和黑色方塊完全分散，此時依據四鄰規則計算的莫蘭指數為-1。如果白色方塊集中在棋盤的一半，黑色方塊集中在另一半，隨著方塊數增加，莫蘭指數會逼近+1。方塊顏色隨機排列時，莫蘭指數會接近0。

全局莫蘭指數

全局莫蘭指數（I）是對空間數據的整體聚集的度量，其定義如下：

${\displaystyle I={\frac {N\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{W\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

其中：

• ${\displaystyle N}$是空間單元的個數；
• ${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$是兩個空間單元的索引編號；
• ${\displaystyle x}$是相關變量；${\displaystyle {\bar {x}}}$是${\displaystyle x}$的平均值；
• ${\displaystyle w_{ij}}$是空間單元${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$之間關係的空間權重，主對角線上取值為0（即${\displaystyle w_{ii}=0}$）；
• ${\displaystyle W}$是所有${\displaystyle w_{ij}}$的總和。

定義空間權重矩陣

I的值可能很大程度上依賴空間權重矩陣{w_ij}中的假設。之所以需要該矩陣，是因為在處理空間自相關和建立空間相互作用模型時，需要約束予以考慮的鄰居的數量。這與托布勒的地理學第一定律有關，該定律指出，所有事物都是相關的，但更接近的事物更相關——換句話說，該定律表明空間中存在距離衰減，儘管所有觀測值都對其他觀測值有影響，但在某個距離閾值後，其影響已經微弱得可以忽略不計。

其思路是構建一個矩陣，以準確地反映對討論的特定空間現象的假設。一種常見的做法是，如果兩個空間單元是鄰居，則權重為1，否則為0（但「鄰居」的定義可能會有所不同）。另一種常見的方法可能是給k個最近的鄰居賦予1的權重，其他為0。還有一種方法是使用距離衰減函數來分配權重。有時，共邊的長度用於為鄰居分配不同的權重。空間權重矩陣的選擇應以研究的相關現象的理論為指導。I的值對權重非常敏感，並且會影響對現象的結論，尤其是在使用距離時。

期望值

在不存在空間自相關的虛無假說下，莫蘭指數的期望值為：

${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

對應該期望值的零分布是${\displaystyle x}$輸入遵循隨機均勻地選取的排列${\displaystyle \pi }$。

在大樣本量下（即N趨於無窮大時），期望值接近於零。

其變異數等於

${\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}}$

其中

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3W^{2}}$

${\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6W^{2}}$^[3]

I的值通常在−1到+1之間。顯著低於-1/(N-1)的值表示空間負相關（分散），顯著高於-1/(N-1)的值表示空間正相關（集聚）。對於統計假說檢定，莫蘭指數的值可以轉換為Z-分數。

莫蘭指數與吉爾里C數（英語：Geary's C）成負相關，但並不完全等同。莫蘭指數是全局空間自相關的度量，而吉爾里C數對局部空間自相關更敏感。

局部莫蘭指數

全局空間自相關分析只能得到一個概括整個研究區域的一個統計量。換句話說，全局分析假設空間是相對均質的。若該假設不成立，那麼只有一個統計數據是意義不大，因為統計數據在空間上應該是不同的。

而且，即使不存在全局自相關或聚類，我們仍然可能通過局部空間自相關分析，在局部層面上找到聚類。「空間關聯的局部指標」（local indicators of spatial association，LISA）利用莫蘭指數是叉積總和這一事實，通過計算每個空間單元的局部莫蘭指數並評估每個I_i的統計顯著性來評估這些個體單元的聚類。局部莫蘭指數最早由盧卡·安瑟林（英語：Luc Anselin）於1995年提出。^[4]由全局莫蘭指數的等式可導出：

${\displaystyle I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})}$

其中：

${\displaystyle m_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}}$

因此，

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{\frac {I_{i}}{N}}}$

I為衡量全局空間自相關性的全局莫蘭指數，I_i為局部莫蘭指數，N為地圖中分析單元的總數。

空間關聯的局部指標可以用GeoDa軟體來計算，其中就包含了局部莫蘭指數的計算功能。^[5]

應用

莫蘭指數廣泛應用於地理學和地理資訊科學領域。例子有：

• 健康變量的地理差異分析^[6]；
• 表徵公共水中鋰濃度對心理健康的影響^[7]；
• 方言學中，用來衡量區域語言變異的顯著性^[8]；
• 地貌學研究中，用來定義有意義的地形分割的目標函數^[9]。

參見

• 地理學第一定律
• 距離衰減
• 吉爾里C數（英語：Geary's C）
• 空間異質性（英語：Spatial heterogeneity）