莫比烏斯-坎特八邊形

在幾何學中，莫比烏斯－坎特八邊形是一個複正多邊形，其位於${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$複希爾伯特平面中由八個頂點和八個三元稜組成，是一個自身對偶的多邊形^[2]。考克斯特將其命名為莫比烏斯－坎特八邊形，用於共享複排佈（英語：Complex configuration）結構，如莫比烏斯－坎特排佈（英語：Möbius–Kantor configuration）。^[3]

莫比烏斯－坎特八邊形
4個紅色三角形和4個藍色三角形分別代表其8條三元邊
類型	八邊形
對偶	自身對偶
邊	8個3{}
頂點	8
施萊夫利符號	3{3}3
考克斯特符號（英語：Coxeter–Dynkin diagram）
對稱群	3[3]3（英語：Binary_tetrahedral_group）, order 24 （謝潑德群）
特性	正、複

這種形狀由傑弗里·科林·謝潑德（英語：Geoffrey Colin Shephard）於1952年發現，其將此形狀根據其對稱性以3(24)3表示，考克斯特將這種對稱性計為₃[3]₃，其與24階的二元四面體群（英語：Binary_tetrahedral_group）同構。^[4]

性質

莫比烏斯－坎特八邊形是一種由8個頂點和8條稜所組成的幾何結構，其在施萊夫利符號中可以用₃{3}₃來表示、在考克斯特記號中可以用來表示。與一般的八邊形不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複希爾伯特平面，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion）^{[註 1]}，這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用₃{}來表示。^[5]

頂點座標

莫比烏斯－坎特八邊形可以於${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$空間中給出，其為：

(ω,−1,0)	(0,ω,−ω2)	(ω2,−1,0)	(−1,0,1)
(−ω,0,1)	(0,ω2,−ω)	(−ω2,0,1)	(1,−1,0)

其中${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$。

作為一種排佈

莫比烏斯－坎特八邊形₃{3}₃的排佈矩陣（英語：Configuration_(polytope)）為：^[6]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}8&3\\3&8\end{matrix}}\right]}$

實空間的代表

在實空間中，莫比烏斯－坎特八邊形可以用四維空間的正十六胞體來代表，^[7]其共用了相同的8個頂點。當莫比烏斯－坎特八邊形的8條三元邊被繪製為三條獨立的邊時，即可在當莫比烏斯－坎特八邊形中觀察到正十六胞體的24條邊。在下圖中這8個三角形被以每個個分成一組，分別塗上藍色和紅色。下圖中，B₄投影在兩個顏色組之間以兩個擁有不同對稱性的方向進行投影。此外，所代表的實空間形狀也可以是一個β₄的四維正軸形。^[7]

正投影圖

考克斯特平面	B4		F4
圖
對稱性	[8]		[12/3]

參見

• 黑塞二十七面體、截半黑塞二十七面體：由莫比烏斯－坎特八邊形組成的多面體。