蛙跳積分法

蛙跳積分法是一種對微分方程進行積分的簡單方法，尤其是在動力系統的情況下。這個方法在不同學科中有不同的名字。特別是它與速度Verlet方法等同，後者是Verlet積分法中的一個變體。

蛙跳積分法相當於在交錯的時間點計算位置和速度，在時間上相互交錯，所以他們相互躍過對方。例如，位置為整數的時間步長而速度為整數加一半的時間步長。

蛙跳積分法是一個二階的方法因此通常要好於一階的歐拉方法。不同於歐拉方法，它對振盪運動穩定，只要滿足 ${\displaystyle \Delta t<1/\omega }$^[1].

蛙跳積分法的方程可寫為：

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t}$

${\displaystyle v_{i+1/2}=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t}$

這些方程可被處理為速度為整數步長的形式：

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+a_{i}\,{\frac {\Delta t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+{\frac {a_{i}+a_{i+1}}{2}}\,\Delta t.}$ ^[2]

這第二種形式通常要求解隱式的第二個方程，因為a可能依賴於v.

這個方程的一個應用是重力模擬，因為在這種情況下加速度只依賴於引力質量的位置；雖然更高階的積分器（如龍格－庫塔法）更常用。