在數學中,西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數,模形式是其特例。在模空間的意義下,若模形式對應到橢圓曲線,則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。 卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念,本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題,例如共形場論。 定義 固定正整數 g , N {\displaystyle g,N} 。首先定義西格爾上半平面為 H g = { τ ∈ M g × g ( C ) | τ T = τ , Im ( τ ) > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{T}=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau )>0\right\}} , 換言之,此即虛部正定之對稱矩陣構成的空間。 再定義一個離散子群 Γ g ( N ) = { γ ∈ G L 2 g ( Z ) | γ T ( 0 I g − I g 0 ) γ = ( 0 I g − I g 0 ) , γ ≡ I 2 g mod N } {\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\}} , 其中 I g {\displaystyle I_{g}} 表 g × g {\displaystyle g\times g} 階單位矩陣。 再設 ρ : GL ( g , C ) → GL ( V ) {\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}(g,\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)} 為一有理複表示,這相當於說 ρ {\displaystyle \rho } 是代數簇之間的有理映射,並保持群運算。 現在可以定義西格爾模形式:對任一函數 f : H g → V {\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\to V} ,我們採用下述符號 γ = ( A B C D ) {\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}} ( f | γ ) ( τ ) := ( ρ ( C τ + D ) ) − 1 f ( γ τ ) {\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau ):=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau )} . 所謂權為 ρ {\displaystyle \rho } 、次數為 g {\displaystyle g} 、階為 N {\displaystyle N} 的西格爾模形式,是滿足下述條件的全純函數 f : H g → V {\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\to V} ∀ γ ∈ Γ g ( N ) ( f | γ ) = f {\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma _{g}(N)\;(f{\big |}\gamma )=f} . 當 g = 1 {\displaystyle g=1} 時,須要求 f {\displaystyle f} 在無窮遠處全純。對於 g > 1 {\displaystyle g>1} ,可證明此條件自動成立(Koecher 定理)。 外部連結 Gerard van der Geer, Lecture notes on Siegel modular forms (PDF) Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.