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規範形

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规范形
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數學計算機科學中,數學對象標準形規範形是將該對象作為表達式呈現的標準方式。通常來說,它提供了對象的最簡單的表示,並允許以獨特的方式識別。「規範(canonical)」與「標準(normal)」的區別因領域而異,大多數時候規範形都規定了對象的唯一表示形式,而標準形則不要求唯一性。[1]

Thumb
多重集為規範形進行算法易位構詞遊戲測試:以C語言數組形式給出字符串「madam curie」「radium came」。通過排序,將每個字符串竄轉為規範形。由於兩個字符串排序後完全相同,因此原字符串實為彼此的變形。

小數表示,自然數的規範形是不以0開頭的有限數字序列。更一般地說,對於定義了等價關係的一類對象,規範形包括每類中的特定對象。例如

在計算機科學與計算機代數中,在計算機中有很多方法表示同一個數學對象。這時,規範形是對每個對象都有唯一表示的表示法(典型化是將某種表示轉換為規範形的過程。因此,測試兩個對象的規範形是否相等,便可輕鬆地驗證它們是否等價。 規範形經常依賴於任意選擇(如變量排序),給測試兩個對象是否等價的獨立計算帶來困難。因此,在計算機代數中,標準形是很弱的概念:標準形中,0的表示是唯一的,因此可以通過對兩個對象作差、置於標準形中,來檢驗它們是否相等。

規範形也可以指以自然(規範)方式定義的微分形式

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定義

給定對象集合S以及其上的等價關係R ,則指定S中的一些對象為「規範形」,這樣所考慮的每個對象都等價於規範形的某個對象。換句話說S中的規範形代表一類等價類。要檢驗兩個對象是否等價,只需檢驗其規範形是否等價。 因此,規範形提供了分類定理,還為類中的對象提供了代表形式。

形式上,集合S上等價關係R的規範化是一個映射c:SS,對所有ss1s2S

  1. c(s) = c(c(s))   (冪等性);
  2. s1 R s2,若且唯若c(s1) = c(s2)   (決定性);
  3. s R c(s)  (代表性)。

性質3是冗餘的:將性質2應用於性質1即可得出。

在實際應用中,能識別規範形往往是有利的。還有一個實際的算法問題需要考慮:如何將S中的給定對象s轉換為規範形式s*?規範形一般用於更有效地運算等價類。例如,模算術中,同餘類的規範形通常是其中的最小非負整數。類運算可以組合這些代表形,並將結果還原為最小非負餘數。 唯一性要求有時會被放寬,允許形式在更精細的等價關係下是唯一的。

規範形可能只是慣例,也可能來自定理。例如,多項式在書寫時通常按冪次遞減:如x2 + x + 30,而非x + 30 + x2。相對地,矩陣的若爾當標準形來自定理。

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示例

大數記號

標準形用於書寫極大的數字,其中最知名的是科學計數法[2]

數論

  • 正整數的規範表示
  • 連分數的標準形

線性代數

更多資訊 , ...
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代數

更多資訊 對象, A等價於B的條件 ...

幾何

解析幾何中:

  • 直線方程:Ax + By = C,而 A2 + B2 = 1(C ≥ 0)
  • 圓方程:

方程還有其他書寫形式。例如,直線方程可以寫作點斜式和斜截式的一次方程

凸多胞形可以表示為標準形:

  • 所有面都是平的;
  • 所有邊都與單位球面相切;
  • 多面體的中心店位於原點。[3]
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可積系統

所有可微流形都有餘切叢,總可以被賦予某種微分形式,稱為重言1形式。這種形式使餘切叢具有辛流形的結構,並允許流形上的向量場通過歐拉-拉格朗日方程哈密頓力學進行積分,這種可積的微分方程系統稱為可積系統

動力系統

動力系統研究與可積系統有所重合;在動力系統研究中,我們也有標準形的概念。

三維幾何

三維流形研究中,有第一基本形式第二基本形式第三基本形式

函數分析

更多資訊 , 上的連續函數代數 ...
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經典邏輯

集合論

改寫系統

改變公式的形式的符號操作稱為公式的「改寫」(rewriting)。可以研究可對公式進行有效操作的規則集合,以研究公式改寫的抽象性質,也就是「改寫規則」——抽象改寫系統的一個部分。常見問題是,有沒有可能將某些通用表達式變為一種單一的、通用的形式,即標準形。若不同的改寫序列仍能得到相同的形式,則這種形式就可稱為標準形,改寫則稱為匯合(confluent)。標準形不總可得。

λ演算

  • 若不能進行beta還原,則lambda項就是Beta範式λ演算是抽象改寫系統的一種特殊情況。例如,在無類型的lambda演算中,項沒有標準形。在有類型的lambda演算中,每個形式良好的項都可改寫為標準形。

圖論

圖論中,圖規範化是找到給定圖G的規範形的過程。圖的規範形是與G圖同構有標號圖Canon(G),這樣,與G同構的圖都具有與G相同的規範圖,也就實現了圖同構的判斷。

計算 (計算機科學)

計算中,將數據還原為任一種規範形通常稱為「數據規範化」(data normalization)。

例如,資料庫規範化是對關係資料庫欄位資料庫表進行調整,以儘量減少數據冗餘與依賴的過程。[4]軟體安全領域,常見的漏洞是未經檢查的惡意輸入(參見代碼注入),解決方法是進行適當的數據確認。在進行輸入驗證之前,通常會通過消除編碼(如HTML字符編碼)和將其化為單一通用字符編碼的方式進行正規化處理。 其他形式的數據(通常與信號處理,包括音頻圖像,以及機器學習)也可以進行規範化處理,以將數值範圍框定得有限。

內容管理中適用單一信源(SSOT)的概念,與資料庫規範化軟體開發相仿。功能強大的內容管理系統可以提供獲取單一信源的合理方法,例如嵌入

另見

注釋

參考文獻

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