解析訊號

在數學和訊號處理中，解析訊號（英語：analytic signal）是沒有負頻率分量的複值函數。^[1] 解析訊號的實部和虛部是由希爾伯特轉換相關聯的實值函數。

提示：此條目的主題不是解析表達式或解析函數。

實值函數的解析表示是解析訊號，包含原始函數和它的希爾伯特轉換。這種表示促進了許多數學轉換的發展。基本的想法是，由於頻譜的埃爾米特對稱，實值函數的傅立葉轉換（或頻譜）的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理複值函數的話，這些負頻率分量可以丟棄而不損失資訊。這使得函數的特定屬性更易理解，並促進了調變和解調技術的衍生，如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量（也就是它仍是「解析函數」），從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量概念的一個推廣：^[2] 向量限制在非時變的振幅、相位和頻率，解析訊號允許有時變參數。

定義

創建一個解析訊號的遞移函數

若 ${\displaystyle s(t)}$ 是一個實值函數，其傅立葉轉換為 ${\displaystyle S(f)}$，${\displaystyle S(f)}$為一於 ${\displaystyle f=0}$ 埃爾米特對稱之函數：

${\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}$   其中，${\displaystyle S(f)^{*}}$為 ${\displaystyle S(f)}$ 的複共軛。

函數：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}$

其中：

• ${\displaystyle \operatorname {u} (f)}$ 是單位階躍函數，
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}$ 是符號函數，

僅包含 ${\displaystyle S(f)}$ 的非負頻率分量。而且由於 ${\displaystyle S(f)}$ 的埃爾米特對稱性，該運算是可逆的：

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}$

${\displaystyle s(t)}$ 的解析訊號是 ${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$ 的傅立葉反轉換：

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}$

其中

• ${\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}$ 是 ${\displaystyle s(t)}$ 的希爾伯特轉換；
• ${\displaystyle *}$ 是摺積符號；
• ${\displaystyle j}$ 是虛數單位。

例子

例1

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$   其中  ${\displaystyle \omega >0.}$

於是：

${\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}$  第三個等式為歐拉公式。

歐拉公式的一個推論是 ${\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).}$ 一般來說，簡單正弦曲線的解析表示是通過用複指數表示它，丟棄負頻率分量，並對正頻率分量加倍得到的。正弦曲線之和的解析表示等於單個正弦波的解析表示之和。

例2

這裡我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})}$

於是：

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

例3

這是使用希爾伯特轉換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到，對於複值函數 ${\displaystyle s(t)}$，沒有什麼能阻止我們計算 ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$。但它可能不是一種可逆的表示，因為原頻譜不總是對稱的。所以除了此例以外，一般討論都假設 ${\displaystyle s(t)}$ 為實值函數。

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, 其中 ${\displaystyle \omega >0}$.

於是：

${\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.}$

負頻率分量

由於 ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$，恢復負頻率分量就是簡簡單單丟棄 ${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$ 這件事可能與直覺不太一致。我們還可以注意到複共軛 ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$ 僅由負頻率分量構成。因此 ${\displaystyle \operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$ 恢復了被減弱的正頻率分量。

應用

包絡和瞬時相位

一個函數（藍色）和它的解析表示的模（紅），顯示出包絡現象。

解析訊號也可以表示在其隨時間變化的振幅和相位（極坐標）：

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

其中：

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s_{\mathrm {a} }(t)|}$ 稱作瞬時振幅或包絡（英語：envelope (waves)）；
• ${\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$ 稱作瞬時相位。

在附圖中，藍色曲線描繪 ${\displaystyle s(t)}$，紅色曲線描繪對應的 ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$。

解纏的瞬時相位的時間導數的單位為rad/s，稱作瞬時角頻率：

${\displaystyle \omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

因此，瞬時頻率（單位赫茲）為：

${\displaystyle f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$  ^[3]

瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的訊號的局部特徵。訊號的解析表示的另一個應用與調變訊號的解調有關。極坐標方便將振幅調變和相位（或頻率）調變的影響分開，對解調某些種類的訊號很有效。

復包絡/基帶

解析訊號通常都會在頻率上移位（下轉換）到 0 Hz，可能會產生[非對稱]負頻率分量：

${\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$

其中 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 是任意參考角頻率。^[2]

這個函數有不同的名稱，如復包絡和復基帶。復包絡不是唯一的；它是由 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 的選取決定的。這個概念通常用於處理帶通訊號（英語：passband）。如果 ${\displaystyle s(t)}$ 是調變訊號，${\displaystyle \omega _{0}}$ 可能會等於它的載波頻率（英語：carrier frequency）。

在其他情況下，${\displaystyle \omega _{0}}$ 選在所需通帶的中間。因此簡單的實係數低通濾波器就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率，從而降低最小的無混疊取樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說，下轉換的訊號仍然是解析訊號。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊可能需要上轉換，若訊號已被（離散時間）取樣，還可能需要插值（升採樣）。

若選取的 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 大於 ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$ 的最高頻率，則 ${\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t)}$ 沒有正頻率。在這種情況下，提取實部並恢復它們，但順序要相反；低分頻量現在變為高分頻量，反之亦然。這可用於解調一種叫做下邊帶的單邊帶訊號。

參考頻率的其他選擇：

有時 ${\displaystyle \omega _{0}}$ 的選取是要最小化

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$

另外，^[4] ${\displaystyle \omega _{0}}$ 選取還可以是要最小化線性逼近解纏的瞬時相位 ${\displaystyle \phi (t)}$ 的均方誤差：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$

再或者（對最佳 ${\displaystyle \theta }$）：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$

在訊號處理領域，維格納–威利分布定義中需要解析訊號，因此該方法在實際應用中具有理想特性。^[5]

有時復包絡與復振幅同義；^[a][b] 其他時候它作為一種時間無關的推廣形式。^[c] 它們的關係並不像實值的情形那樣；變化的包絡（英語：Envelope (waves)）產生恆定的振幅。

參見

• 希爾伯特轉換
• 負頻率

應用

• 單邊帶調變
• 正交濾波器（英語：Quadrature filter）
• 因果濾波器（英語：Causal filter）