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在數學和訊號處理中,解析訊號(英語:analytic signal)是沒有負頻率分量的複值函數。[1] 解析訊號的實部和虛部是由希爾伯特轉換相關聯的實值函數。
實值函數的解析表示是解析訊號,包含原始函數和它的希爾伯特轉換。這種表示促進了許多數學轉換的發展。基本的想法是,由於頻譜的埃爾米特對稱,實值函數的傅立葉轉換(或頻譜)的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理複值函數的話,這些負頻率分量可以丟棄而不損失資訊。這使得函數的特定屬性更易理解,並促進了調變和解調技術的衍生,如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量(也就是它仍是「解析函數」),從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量概念的一個推廣:[2] 向量限制在非時變的振幅、相位和頻率,解析訊號允許有時變參數。
若 是一個實值函數,其傅立葉轉換為 ,為一於 埃爾米特對稱之函數:
函數:
其中:
僅包含 的非負頻率分量。而且由於 的埃爾米特對稱性,該運算是可逆的:
的解析訊號是 的傅立葉反轉換:
其中
於是:
歐拉公式的一個推論是 一般來說,簡單正弦曲線的解析表示是通過用複指數表示它,丟棄負頻率分量,並對正頻率分量加倍得到的。正弦曲線之和的解析表示等於單個正弦波的解析表示之和。
這裡我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。
於是:
這是使用希爾伯特轉換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到,對於複值函數 ,沒有什麼能阻止我們計算 。但它可能不是一種可逆的表示,因為原頻譜不總是對稱的。所以除了此例以外,一般討論都假設 為實值函數。
於是:
由於 ,恢復負頻率分量就是簡簡單單丟棄 這件事可能與直覺不太一致。我們還可以注意到複共軛 僅由負頻率分量構成。因此 恢復了被減弱的正頻率分量。
解析訊號也可以表示在其隨時間變化的振幅和相位(極坐標):
其中:
在附圖中,藍色曲線描繪 ,紅色曲線描繪對應的 。
解纏的瞬時相位的時間導數的單位為rad/s,稱作瞬時角頻率:
瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的訊號的局部特徵。訊號的解析表示的另一個應用與調變訊號的解調有關。極坐標方便將振幅調變和相位(或頻率)調變的影響分開,對解調某些種類的訊號很有效。
解析訊號通常都會在頻率上移位(下轉換)到 0 Hz,可能會產生[非對稱]負頻率分量:
其中 是任意參考角頻率。[2]
這個函數有不同的名稱,如復包絡和復基帶。復包絡不是唯一的;它是由 的選取決定的。這個概念通常用於處理帶通訊號。如果 是調變訊號, 可能會等於它的載波頻率。
在其他情況下, 選在所需通帶的中間。因此簡單的實係數低通濾波器就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率,從而降低最小的無混疊取樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說,下轉換的訊號仍然是解析訊號。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊可能需要上轉換,若訊號已被(離散時間)取樣,還可能需要插值(升採樣)。
若選取的 大於 的最高頻率,則 沒有正頻率。在這種情況下,提取實部並恢復它們,但順序要相反;低分頻量現在變為高分頻量,反之亦然。這可用於解調一種叫做下邊帶的單邊帶訊號。
有時 的選取是要最小化
另外,[4] 選取還可以是要最小化線性逼近解纏的瞬時相位 的均方誤差:
再或者(對最佳 ):
在訊號處理領域,維格納–威利分布定義中需要解析訊號,因此該方法在實際應用中具有理想特性。[5]
有時復包絡與復振幅同義;[a][b] 其他時候它作為一種時間無關的推廣形式。[c] 它們的關係並不像實值的情形那樣;變化的包絡產生恆定的振幅。
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