調和共軛

在數學中，調和共軛（Harmonic conjugate）是針對函數的概念。定義在開集${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$中的函數${\displaystyle u(x,\,y)}$，另一個函數${\displaystyle v(x,\,y)}$為其共軛函數的充分必要條件是${\displaystyle u(x,\,y)}$和${\displaystyle v(x,\,y)}$需要是全純函數${\displaystyle f(z)}$（${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega }$）的實部及虛部。

因此，若${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$在${\displaystyle \Omega }$中為全純函數，${\displaystyle v}$就為${\displaystyle u}$的共軛函數。而${\displaystyle v}$和${\displaystyle u}$也是${\displaystyle \Omega }$中的調和函數。${\displaystyle v}$為${\displaystyle u}$的共軛函數，若且唯若${\displaystyle u}$為${\displaystyle -v}$的共軛函數。

在${\displaystyle \Omega }$區間內，${\displaystyle v}$是${\displaystyle u}$共軛函數的充分必要條件是${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$滿足柯西－黎曼方程。

     ${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

    ${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$

舉例

例如，考慮函數$${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

因為 $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$ 且 $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$ 會滿足 $${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$ （${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子），因此是調和函數。現在假設存在${\displaystyle v(x,y)}$，可以滿足柯西－黎曼方程：

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ and $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

化簡後可得 $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ 且 $${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$ 因此可得 $${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

若u和v的關係對調，函數就不是調和共軛函數了，因為柯西－黎曼方程中的負號，讓此關係是非對稱的關係。

參考資料

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. Complex variables and applications 6th. New York: McGraw-Hill. 1996: 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.

外部連結

• Harmonic Ratio （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Conjugate harmonic functions, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語）