計數測度

在測度論中，計數測度是可以定義在任意集合上的測度，它將每個集合含有的元素個數作為這個集合的測度。準確來說，對於任何一個可測空間${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}}\right)}$，我們都可以定義這個可測空間上的測度${\displaystyle \mu }$，使得對於任意可測集${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$，${\displaystyle \mu (E)}$就是集合${\displaystyle E}$中含有的元素個數，即

$${\displaystyle \mu (E)={\begin{cases}\vert E\vert &\vert E\vert <\infty ,\\+\infty &\vert E\vert =+\infty .\end{cases}}}$$

這裡${\displaystyle \vert E\vert }$表示集合的基數。^[1]

特別地，可測空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$上的計數測度是σ-有限的若且唯若${\displaystyle \Omega }$是可數集。^[2]