譜幾何

譜幾何是數學的一個分支，關注流形的幾何結構與規範定義的微分算子的譜之間的關係。對閉黎曼流形上拉普拉斯-貝爾特拉米算子的研究最為深入，微分幾何中的拉普拉斯算子也被研究過。該領域關注兩類問題：直接問題和逆問題。

逆問題試圖從拉普拉斯算子的特徵值信息中發現幾何特徵。赫爾曼·外爾在1911年利用大衛·希爾伯特的積分方程理論證明，歐氏空間中有界區域的體積可由拉普拉斯算子的狄利克雷邊界值問題特徵值的漸進行為來確定。這通常被表述為「能聽出鼓的形狀嗎？」Pleijel & Minakshisundaram改進了外爾漸進公式，得到一系列涉及曲率張量協變微商的局部譜不變量，可用於構造一類特殊流形的譜剛性。不過，正如約翰·米爾諾所舉例子，特徵值的信息不足以確定流形的等距類（見同譜）。砂田利一提出了一種通用而系統的方法，構造的例子澄清了同譜流形現象。

直接問題試圖從幾何知識推斷黎曼流形特徵值的行為。直接問題的解以奇格不等式為典型，其給出了第一個正特徵值與第一個等周常數（奇格常數）之間的關係。自他的工作以來，已出現許多版本的不等式。

另見

• 同譜
• 聽出鼓的形狀

參考文獻

• Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond, Le spectre d'une variété riemannienne, Lecture Notes in Mathematics 194, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971 （法語）.
• Sunada, Toshikazu, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math., 1985, 121 (1): 169–186, JSTOR 1971195, doi:10.2307/1971195.