质数螺旋

烏拉螺旋（Ulam spiral）是一個簡單的展示出質數的一定明顯規律的結構，同時它指出一些二次多項式有著大量生成質數（富質數）的特性。該圖形是由數學家斯坦尼斯瓦夫·烏拉在1963年，在一個科學會議上聽取一個「又長又無聊的」報告^[1]時信手塗鴉所發現的。不久以後，作為一個計算機圖形的早期應用，烏拉與他的協作者邁倫·斯坦（Myron Stein）和馬克·韋爾斯（Mark Wells）在洛斯阿拉莫斯國家實驗室使用了MANIAC II（英語：MANIAC II）代碼生成了該65000以內的質數構成的螺旋^[2][1][3]。1964年3月，馬亭·卡德納 在他出版的書籍——《趣味數學》上寫了一篇關於烏拉螺旋的內容^[1]。烏拉螺旋之後也出現在了《科學美國人》的雜誌首頁上。

該圖是200×200個數字的烏拉螺旋。其中黑點部分指的是質數。水平線、垂直線和對角線都有一個清晰可見的大質數密度。

在《科學美國人》雜誌的附錄中^[4]提及到，加德納指出，爬蟲兩棲類學者勞倫斯·門羅·克勞伯（英語：Laurence Monroe Klauber）在1932年——在烏拉的發現之前30多年——的美國數學學會上所做的報告中，便有為了研究富質數二次多項式而將質數排列為二維結構的例子。與烏拉不同的是，克勞伯的數列不是以正方形結構，而是用三角形來寫的。^[5]

構造

烏拉是寫下了一個正方形的數組來構造了這個螺旋數組，從1開始且開始按照這個螺旋規律：

從1至49的質數位置

他然後圈起了所有的質數（如下圖）：

小型烏拉螺旋表

令他吃驚的是這堆圈起來的數字趨向於與對角線排成一行。在200×200的烏拉質數表當中（上圖），其中對角線都是清晰可見且完成整一個表，而且水平線和垂直線都是有證明顯著突出質數的樣子。

在這堆質數表中，除了2這個偶數是質數外，其它都是由奇數組成的。在烏拉螺旋里，相鄰的對角線都是與每個奇數相交的，毫不奇怪地所有質數都是躺在該螺旋的每個相鄰的對角線中。這是從1開始以來，質數有更高的趨勢躺在更多的對角線上。

以圖表畫出的更多數字

測試到現在為止，都證明出對角線都是以質數組成（如右圖）。雖然這個數列看起來好像出現即使不是1的中間數字（實際上那個數字＞1）。這也暗示著有許多的整數常數「b」和「c」就得出以下公式：

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

當數列n每次增加1，一堆的質數就會與更多的質數將會對照出來。