赫爾維茨ζ函數

赫爾維茨ζ函數(Hurwitz zeta function)定義如下

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}$

復空間赫爾維茨ζ函數

其中${\displaystyle q}$、${\displaystyle s}$都是複數，並且有${\displaystyle Re(q)>0}$,${\displaystyle Re(s)>0}$

對於給定的q,s,此函數可以擴展到 s≠1的亞純函數.

黎曼ζ函數=${\displaystyle \zeta (s,1)}$

級數展開

赫爾維茨ζ函數可以展開成級數：:^[1]

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

此級數在S空間的緊空間子集中均勻收斂成為一個整函數。

積分式

赫爾維茨ζ函數可以表示為下列梅林變換

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}$

其中 ${\displaystyle \Re s>1}$ 及${\displaystyle \Re q>0.}$

赫爾維茨公式

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

其中

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$

對於 ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ and s > 1成立，其中 ${\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)}$代表 多重對數.

泰勒展開

赫爾維茨ζ函數的導數是平移：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}$

因此赫爾維茨ζ函數的泰勒級數可表示為:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

或

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}$

其中 ${\displaystyle |q|<1}$.^[2]

與Θ函數的關係

令${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$ 代表 雅可比 Θ函數, 则

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

對於 ${\displaystyle \Re s>0}$ and 複數z 成立，但對於 z=n 整數，則有

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

其中 ζ 代表黎曼ζ函數.

推廣

正整數m的赫爾維茨ζ函數與 多伽瑪函數有下列關係:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:^[3]

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .}$

The 巴恩斯ζ函數是赫爾維茨ζ函數的推廣。

The 勒奇超越函數也是赫爾維茨ζ函數的推廣:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

即：

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}$

赫爾維茨ζ函數與超幾何函數的關係：

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$其中 ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Meijer G函數

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$