轉動群

群作為數學的重要分支之一，吸引了大量數學家的研究，又有許多為此耗以其畢生的時間。在多面體著色這一問題中，群起到非常重要的作用，特別是波利亞計數定理，其中與波利亞計數定理有密切相關的就是轉動群。而下方為一些便於參考的常用的轉動群的介紹。

常用的轉動群

• 正四面體

正四面體有4個頂點，4個面，6條棱。，每個面都是正三角形。

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)4	(1)4	(1)6	1
頂點-面心， ±120度	(1)1(3)1	(1)1(3)1	(3)2	8
棱心-棱心， 180度	(2)2	(2)2	(1)2(2)2	3

• 正六面體

正六面體有8個頂點，6個面，12條棱，每個面都是正四邊形。

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)8	(1)6	(1)12	1
面心-面心， ±90度	(4)2	(1)2(4)1	(4)3	6
面心-面心，180度	(2)4	(1)2(2)2	(2)6	3
棱心-棱心，180度	(2)4	(2)3	(1)2(2)5	6
空間對角線，±120度	(3)2(1)2	(3)2	(3)4	8

• 正八面體

正八面體有6個頂點，8個面，12條棱，每個面都是正三角形。

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)6	(1)8	(1)12	1
頂點-頂點， ±90度	(1)2(4)1	(4)2	(4)3	6
頂點-頂點，180度	(1)2(2)2	(2)4	(2)6	3
棱心-棱心，180度	(2)3	(2)4	(1)2(2)5	6
面心-面心，±120度	(3)2	(3)2(1)2	(3)4	8

• 正十二面體

正十二面體有20個頂點，12個面，30條棱，每個面都是正五邊形。

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)20	(1)12	(1)30	1
面心-面心， ±72度，±144度	(5)4	(1)2(5)2	(5)6	24
棱心-棱心，180度	(2)10	(2)6	(1)2(2)14	15
頂點-頂點，±120度	(1)2(3)6	(3)4	(3)10	20

• 正二十面體

正二十面體有12個頂點，20個面，30條棱，每個面都是正三角形。

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)12	(1)20	(1)30	1
頂點-頂點， ±72度，±144度	(1)2(5)2	(5)4	(5)6	24
棱心-棱心，180度	(2)6	(2)10	(1)2(2)14	15
面心-面心，±120度	(3)4	(1)2(3)6	(3)10	20