輻角原理

在複分析中，輻角原理（Argument principle）或稱柯西輻角原理（Cauchy's argument principle）說如果 ${\displaystyle f(z)}$ 是在某個圍道 ${\displaystyle C}$ 上以及內部一個亞純函數，且 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上沒有零點或極點，則下列公式成立

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}$

圍道 ${\displaystyle C}$（黑色），${\displaystyle f}$ 的零點（藍色）以及 ${\displaystyle f}$ 的極點（紅色）。

這裡 ${\displaystyle N}$ 與 ${\displaystyle P}$ 分別表示 ${\displaystyle f(z)}$ 在圍道 ${\displaystyle C}$ 內部的零點與極點個數，每個零點計重數，極點計階數。定理的陳述假設圍道 ${\displaystyle C}$ 是簡單的，即沒有自交，以及它是逆時針方向定向的。

更一般地，假設 ${\displaystyle C}$ 是一條曲線，逆時針方向定向，在複平面中一個開集 ${\displaystyle \Omega }$ 中可縮為一點。對每個 ${\displaystyle z\in \Omega }$，令 ${\displaystyle n(C,z)}$ 是 ${\displaystyle C}$ 繞點 ${\displaystyle z}$ 的卷繞數。則

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi \mathrm {i} \left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),}$

這裡第一個求和對 ${\displaystyle f}$ 所有零點 ${\displaystyle a}$ 進行並計重數，第二個求和在 ${\displaystyle f}$ 的所有極點 ${\displaystyle b}$ 上進行並計重數。

證明

設 ${\displaystyle z_{N}}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一個零點。我們可將 ${\displaystyle f}$ 寫成 ${\displaystyle f(z)=(z-z_{N})^{k}g(z)}$ 這裡 ${\displaystyle k}$ 是零點${\displaystyle z_{N}}$的重數，從而 ${\displaystyle g(z_{N})\neq 0}$。我們有

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!}$

以及

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

因 ${\displaystyle g(z_{N})\neq 0}$， ${\displaystyle {\frac {g'(z)}{g(z)}}}$在 ${\displaystyle z_{N}}$ 沒有奇點，從而在 ${\displaystyle z_{N}}$ 解析，這意味著 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 在 ${\displaystyle z_{N}}$ 的留數是 ${\displaystyle k}$。

設 ${\displaystyle z_{P}}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一個極點。我們可寫成 ${\displaystyle f(z)=(z-z_{P})^{-m}h(z)}$ 這裡 ${\displaystyle m}$ 是極點${\displaystyle z_{P}}$的階數，從而 ${\displaystyle h(z_{P})\neq 0}$。我們有

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

以及

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

因為 ${\displaystyle h(z_{P})\neq 0}$， ${\displaystyle {\frac {h'(z)}{h(z)}}}$ 在 ${\displaystyle z_{P}}$ 沒有奇點，從而在 ${\displaystyle z_{P}}$ 解析。我們發現 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 在 ${\displaystyle z_{P}}$ 的留數是 ${\displaystyle -m}$。

將它們放在一起，${\displaystyle f}$ 的每個 ${\displaystyle k}$ 重零點 ${\displaystyle z_{N}}$ 產生 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 的一個留數為 ${\displaystyle k}$ 的單極點，而 ${\displaystyle f}$ 的每個 ${\displaystyle m}$ 階極點 ${\displaystyle z_{P}}$ 產生 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 的一個留數為 ${\displaystyle -m}$ 的單極點（這裡一個單極點指一階極點）。另外，可以證明 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 沒有其它極點，從而沒有其它留數。

由留數定理我們有關於 ${\displaystyle C}$ 的積分是 ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ 與這些留數之和的乘積。總之，每個零點 ${\displaystyle z_{N}}$ 的 ${\displaystyle k}$ 之和是計重數的零點個數，對極點類似，故我們得到了欲證之結論。

推論

假設 ${\displaystyle C}$ 是一個以原點為中心的閉圍道，通過考慮 ${\displaystyle f(z)}$ 關於 ${\displaystyle 0}$ 的卷繞數可得出一些推論。我們看到 ${\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上的積分是 ${\displaystyle \log f(z)}$ 值的變化。因為 ${\displaystyle C}$ 是閉的我們只需考慮 ${\displaystyle {\arg f(z)}\cdot \mathrm {i} }$ 在 ${\displaystyle C}$ 上的變化，它將是 ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ 的某個整數倍（但可能繞原點卷多圈）。但從輻角原理

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}$

約去因子 ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$，我們得到

${\displaystyle N-P=I(C,0)}$

這裡 ${\displaystyle I(C,0)}$ 表示 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上關於 ${\displaystyle 0}$ 的卷繞數，且有${\displaystyle I(C,0)=\sum _{a}n(C,a)}$，（這裡的求和對 ${\displaystyle f}$ 所有零點 ${\displaystyle a}$ 進行並計重數）。

一個推論是更廣泛的定理，在同樣的假設下，如果 ${\displaystyle g}$ 是 ${\displaystyle \Omega }$ 中一個解析函數，則

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

例如，如果 ${\displaystyle f}$ 是以一個簡單圍道 ${\displaystyle C}$ 內部 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{p}}$ 為零點的多項式，以及${\displaystyle g)z)=z^{k}}$，則

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}$

是 ${\displaystyle f}$ 的根的次方和對稱多項式。

另一個推論是如果我們計算復積分：

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,}$

對一個合適的${\displaystyle f}$，我們有阿貝爾-普蘭納公式（英語：Abel–Plana_formula）：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,}$

這給出了一個離散和式與它的積分之間的關係。

歷史

按照弗蘭克·史密西斯一書（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的說法，在奧古斯丁·路易·柯西從法國到都靈（當時皮德蒙特-薩丁尼亞王國的首都）的自我放逐途中，柯西於1831年11月2日提出了和上面類似的一個定理（見177頁）。但是根據此書，只提到了零點，沒有極點。柯西的這個定理在許多年後的1974年才以手寫本發表，故很難閱讀。柯西逝世兩年前的1855年發表的一篇論文中，零點與極點都討論了。定理 1 只涉及了零點。柯西1855年論文中的定理 2 說「一個單復變量函數 Z 的對數計量（compteurs logarithmiques，相當於現代教材中的對數留數）等於 Z 與 1/Z 根的個數之差（相當於現代教材中的函數 Z 的零點與極點）。從而現代「輻角原理」可在1855年柯西論文中作為一個定理發現。

應用

反饋控制理論的現代書籍中頻繁用到輻角原理，將其作為奈奎斯特穩定性判據的理論基礎。哈里·奈奎斯特1932年原理的論文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一種相當笨拙與原始的方法得出奈奎斯特穩定性判據。在這篇論文中，奈奎斯特完全沒有提到柯西的名字。後來，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 與 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都從輻角原理得到了奈奎斯特穩定性判據。MacColl (Bell Laboratories) 將輻角原理稱為柯西定理。這樣輻角原理在純粹數學與控制工程學中都有重大影響。現在，輻角原理可在複分析或控制工程學的現代教材中都可以找到。

參考文獻

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Argument Principle. MathWorld.
• Module for the Argument Principle by John H. Mathews
• An Illustration of the Argument Principle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

相關條目

• 儒歇定理
• 路徑積分
• 奈奎斯特穩定性判據
• 奧古斯丁·路易·柯西