辛克宏定理

辛克宏定理（英語：Sinkhorn's theorem）是線性代數中的一個定理，指所有元素為正的方塊矩陣都可以寫成一個正對角矩陣、一個雙隨機矩陣（英語：Doubly stochastic matrix）與另一個正對角矩陣之積的形式。

定理

如果${\displaystyle A}$是所有元素都嚴格為正的${\displaystyle n\times n}$矩陣，則存在元素嚴格為正的對角矩陣${\displaystyle D_{1}}$和${\displaystyle D_{2}}$，使得${\displaystyle D_{1}AD_{2}}$是雙隨機矩陣，即每一行或列之和均為1。矩陣${\displaystyle D_{1}}$和${\displaystyle D_{2}}$在前者乘以一個正數、後者除以相同正數的情況下是唯一的。^[1][2]

辛克宏-諾普算法

一個逼近雙隨機矩陣的簡單迭代方法是交替地縮放${\displaystyle A}$中所有行與列的比例，使其元素之和為1。辛克宏和諾普（Knopp）提出了該算法並分析了其收斂性。這一算法與調查統計學中的迭代比例擬合（英語：Iterative proportional fitting）本質上相同。

擴展

在酉矩陣中存在類似的結論：對於任意酉矩陣${\displaystyle U}$，都存在兩個對角酉矩陣${\displaystyle L}$和${\displaystyle R}$，使得${\displaystyle LUR}$的每一列和每一行的元素之和均為1。^[3]

對矩陣間映射也有類似的擴展結論^[4][5]：給定一個克勞斯（Kraus）算子${\displaystyle \Phi }$表示將一個密度矩陣映射到另一個密度矩陣的量子操作，即

${\displaystyle S\mapsto \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},}$

其滿足跡不變

${\displaystyle \sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,}$

並且其範圍在正定錐內部（嚴格正定）。在此條件下，存在正定的縮放因子${\displaystyle x_{j}}$（${\displaystyle j\in \{0,1\}}$），使得縮放後的克勞斯算子

${\displaystyle S\mapsto x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}}$

是雙隨機的，即

${\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,}$

${\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,}$

其中${\displaystyle I}$表示恆等算子。

應用

2010年代，辛克宏定理開始被用於求解熵正則化的最優傳輸問題。^[6]這一方法在機器學習領域引起了關注，因為由此得到的辛克宏距離（Sinkhorn distance）可用於評估數據分布之間的差異。^[7][8][9]在一些最大似然訓練效果不佳的情況下，這種方法可以改進機器學習算法的訓練效果。