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元件 (圖論)
特定頂點及所有與其具有路徑連通之極大連通子圖 来自维基百科,自由的百科全书
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在圖論中,元件(英語:Component)又稱為連通元件、分量、或分支[1],是一個無向子圖,在元件中的任何兩個頂點都可以經由該圖上的邊抵達另一個頂點,且沒有任何一邊可以連到其他子圖的頂點。例如右圖中的無向圖可以分成3個無向子圖,也就是3個元件。沒有與任何其他頂點相連的單一頂點也可以算是一個元件。

如果圖是一個有向圖,而每2個頂點都存在可以來回該頂點的路徑則稱為強連通元件;而若圖上任兩個點之間皆有不止一條路徑連通,則稱為雙連通元件。
定義與示例

無向圖的連通元件的定義是一個連通子圖,且其不是某個更大的連通子圖的一部分。例如,第一幅圖有三個元件。圖的每個頂點屬於一個該圖的元件,其同時也是可到達的頂點所構成的集合的導出子圖。[2]每個圖都是它的元件構成的不相交並。[3] 更多示例包括如下特殊情況:
- 在空圖中,每個頂點形成一個有一個頂點和零條邊的元件。[4] 更加一般地說,任意圖中的每個孤立頂點都會形成這種元件。[5]
- 在連通圖中,有且僅有一個元件,它就是整個圖。[4]
- 在森林中,每個元件是一棵樹。[6]
- 在聚類圖中,每個元件是一個極大團。這些圖可以作為任意無向圖的傳遞閉包產生,對於這些圖來說,找到傳遞閉包是確定連通元件的等價表述。[7]
元件的另一個定義涉及定義在圖的頂點上的等價關係的等價類。在無向圖中,如果有一條從到的路徑,那麼頂點就「可到達」。
可達性是一種等價關係,因為:
- 它是自反關係。從任何頂點到它本身都有一條長度為零的平凡路徑。
- 它是對稱關係。如果有一條從到的路徑,同樣的邊以相反的順序形成一條從到的路徑。
- 它是傳遞關係。如果有一條從到的路徑和一條從到的路徑,這兩條路徑可以串聯起來,形成一條從到的路徑。
這種關係的等價類將圖的頂點劃分為不相交集,即頂點的子集,這些子集相互之間都是可達的,在這些子集之外沒有額外的可達對。每個頂點正好屬於一個等價類。那麼,元件就是這些等價類中的每一個所形成的導出子圖。[8]另外,有些資料將元件定義為頂點的集合,而不是它們所導出的子圖。[9]
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參見
參考文獻
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