退化雙線性形式

對於一個在體 F ,向量空間 V 中,V × V → F 的雙線性形式B，如果V中存在一些非零的向量${\displaystyle \,x}$使得對於任意${\displaystyle \,y\in V}$有

${\displaystyle B(x,y)=0\,}$則稱B是一個退化雙線性形式。

非退化雙線性形式

如果B是一個雙線性形式，但不是退化雙線性形式，則B是一個非退化雙線性形式。這意味著如果對於任意${\displaystyle y\in V}$有

${\displaystyle B(x,y)=0}$

則${\displaystyle x=0}$ 。

非退化雙線性形式常見的例子是內積和辛形式。對稱的非退化雙線性形式是內積的推廣，它只要求映射${\displaystyle V\to V^{*}}$是同構的，而不要求非負。例如，在其切空間上具有內積結構的流形是一個黎曼流形，而將條件放寬到對稱的非退化雙線性形式時，則只是一個偽黎曼流形。

行列式

如果V是有限維的，而B是一個雙線性形式，則考慮V 的一組基底${\displaystyle \{e_{1},\cdots \cdots ,e_{n}\}}$，定義矩陣A為

${\displaystyle A_{i,j}=B(e_{i},e_{j})}$

則B是退化雙線性形式若且唯若矩陣A的行列式為零 – 也就是A是不可逆矩陣。

參見

• 雙線性形式

參考資料