適應過程

適應過程是隨機過程研究中常見的概念，表示不能「預見未來」的隨機過程。非正式的數學解釋是，一個隨機過程是適應於某個參考族的，若且唯若在任意的特定時刻，隨機過程都是可測的。適應過程是隨機過程理論中很多重要概念的基礎。比如說能夠定義伊藤積分的隨機過程就需要是適應過程。

定義

設有

• 機率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$；
• 測度空間${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$，狀態空間；
• 有序的指標集${\displaystyle T}$： 可以是非負實數集${\displaystyle [0,\infty )}$、有限時間集${\displaystyle [0,T_{0}]}$或離散時間${\displaystyle \mathbb {N} }$；
• σ-代數${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的參考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$；
• 隨機過程${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$。

則隨機過程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是適應過程（適應於${\displaystyle \mathbb {F} }$的隨機過程）若且唯若對任意的時刻${\displaystyle t\in T}$，映射：${\displaystyle X_{t}:\Omega \to S}$都是${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {A}})}$-可測的隨機變數^[1]:37[2]:97。

適應過程的定義說明，如果一個過程適應於某個參考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$，那麼在任意一個特定的時刻，我們掌握的資訊都包括了這個過程。也就是說這個過程在任意時刻的結果必然在該時刻可知。但一般來說，適應過程在任意時刻的結果並不能提前預知。如果一個（離散的）隨機過程在時刻${\displaystyle t=n}$的結果能夠在${\displaystyle t=n-1}$的時刻已知，那麼這個過程被稱為在參考族${\displaystyle \mathbb {F} }$中可預測。可預測的隨機過程必然適應於參考族，反之則不然。

例子

設狀態空間${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$為實數及其波萊爾σ-代數${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$。設指標集為連續的：${\displaystyle T=[0,\infty ).}$ 給定一個隨機過程${\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$，如果考慮過程${\displaystyle X}$產生的自然參考族：${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}=\{{\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}|t\in T\}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}=\sigma \left(X_{s}\,;\,\,0\leqslant s\leqslant t\right)=\sigma \left(\left\{X_{s}^{(-1)}(H)\,|\,0\leqslant s\leqslant t,\,\,H\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}\right)}$

那麼${\displaystyle X}$當然是適應於${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}^{X}}$的過程，因為在每個時刻，${\displaystyle X}$都是${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}}$-可測的隨機變數。自然參考族也是能使得${\displaystyle X}$為適應變量的「最小」參考族。${\displaystyle X}$適應於某個參考族${\displaystyle {\mathcal {F}}^{r}=\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$，若且唯若在任何時刻${\displaystyle t\in T}$，${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}.}$^[3]:98

設${\displaystyle X=\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$是某彩票每期的開獎結果，那麼${\displaystyle X}$是一個適應隨機過程，但不可能是一個可預測過程。