通用微分方程

此條目介紹的是一種微分代數方程。關於科學機器學習領域的通用微分方程，請見「神經微分方程」。

通用微分方程是一種非平凡的微分代數方程（英語：differential algebraic equation），其解可以在實數線上的任何區域逼近任何連續函數，可以到任意的精準度。此概念是由美國數學家李·艾伯特·魯貝爾（英語：Lee Albert Rubel）在1981年提出。

若要精確表示，微分方程${\displaystyle P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0}$是通用微分方程，若針對任意連續實值函數${\displaystyle f}$以及任意正值連續函數${\displaystyle \varepsilon }$，存在${\displaystyle P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0}$的光滑解${\displaystyle y}$，使得針對所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle |y(x)-f(x)|<\varepsilon (x)}$都成立^[1]。

通用微分方程的存在一開始視為是類似類比電腦的通用圖靈機，因為香農識別到通用類比電腦（英語：general purpose analog computer）的結果和代數微分方程的解相同^[1]。不過通用微分方程和通用圖靈機不同，通用微分方程無法分析系統的演進，只能舉出系統演進需要滿足的條件^[2]。

範例

• Rubel在1981年發現第一個通用微分方程，是四階的隱式微分方程^[1][2]： ${\displaystyle 3y^{\prime 4}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime 2}-4y^{\prime 4}y^{\prime \prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime \prime }+6y^{\prime 3}y^{\prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime }+24y^{\prime 2}y^{\prime \prime 4}y^{\prime \prime \prime \prime }-12y^{\prime 3}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime 3}-29y^{\prime 2}y^{\prime \prime 3}y^{\prime \prime \prime 2}+12y^{\prime \prime 7}=0}$
• Duffin發現了一組通用微分方程^[3]：

${\displaystyle n^{2}y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+3n(1-n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+\left(2n^{2}-3n+1\right)y^{\prime \prime 3}=0}$和${\displaystyle ny^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+(2-3n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2(n-1)y^{\prime \prime 3}=0}$，其解是class ${\displaystyle C^{n}}$，n > 3。

• Briggs提出了另外一組通用微分方程，是建構在雅可比橢圓函數上的^[4]：

${\displaystyle y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}-3y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2\left(1-n^{-2}\right)y^{\prime \prime 3}=0}$，其中n > 3。