造父變星型振子

造父變星型振子，1955年天文學家W.S。Krogdahl在天體物理學學報上發表《天體的搏動是一種極限環現象》^[1]。

Krogdahl用下列非線性常微分方程組模擬造父變星的半徑隨時間的變化^[2]：

${\displaystyle y'=b*(1-x(t)^{2})*y+a*(1-1.5*a)*y(t)^{2}-x(t)+2*a*x(t)-(7/6)*a^{2}*x(t)^{3}}$

${\displaystyle x'=y(t)}$

造父變星的半徑變化用下式表達：

${\displaystyle r(t)=r_{0}*(c+x(t))^{1/3}}$

此微分方程組無解析解，但可以用龍格－庫塔法定性求得數值圖解。

設參數params := a = .1*(1/3), b = .5，c=10；

初始條件：init:= x(0) = 1.1, y(0) = 0

造父變星半徑隨時間之變化圖

造父變星極限環

造父變星型振子相圖