部分等距映射

在數學的分支泛函分析中，部分等距映射是希爾伯特空間之間的一種線性映射，它在核的正交補上的限制是一個等距映射。

其核的正交補稱為始子空間，其值域稱為終子空間。本文中，算子 ${\displaystyle W}$ 的始、終子空間分別記作 ${\displaystyle {\mathcal {I}}W,{\mathcal {F}}W}$ 。

一般定義

部分等距的概念可以用其他等價的方式定義。設 ${\displaystyle H_{1}}$ 是希爾伯特空間 ${\displaystyle H}$ 的一個閉子集 ，而 ${\displaystyle U}$ 是 ${\displaystyle H_{1}}$ 上的等距映射，則我們可以定義 ${\displaystyle U}$ 到 ${\displaystyle H}$ 的一個擴張 ${\displaystyle W}$ ， ${\displaystyle W}$ 在 ${\displaystyle H_{1}}$ 的正交補上的值為零。因此，部分等距有時也被定義在閉集上局部定義了的等距映射。

基於*-半群（英語：Semigroup with involution），可以用更為抽象的方式來定義部分等距（以及投影），該定義與上文的定義是重合的。

有限維情況的特性

在有限維向量空間中，矩陣 ${\displaystyle A}$ 是一個部分等距若且唯若 ${\displaystyle A^{*}A}$ 是到其支撐集的投影。相比之下，等距映射的定義是更強的：矩陣 ${\displaystyle V}$ 是一個等距映射若且唯若 ${\displaystyle V^{*}V=I}$ 。換句話說，等距對稱是一種單射的部分等距映射。

通過選擇適當的基，任何有限維的部分等距映射都可以表示為形如 ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}}$ 的矩陣，也就是說，其前 ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)}$ 列表示了一個等距映射，而所有其他列則都為零。

注意對於任何等距映射 ${\displaystyle V}$ ，其埃爾米特共軛 ${\displaystyle V^{*}}$ 都是一個部分等距映射，儘管並非每個部分等距映射都具有這種形式。

算子代數

在算子代數中，可用下面的方式^{[需要更深入解釋]}引入始子空間和終子空間：

${\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.}$

C*-代數

對於C*-代數，由於C*-性質，存在等價鏈：

${\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}$

因此可由上式中的任意一條來定義部分等距，而到始、終子空間的投影分別為 ${\displaystyle W^{*}W,WW^{*}}$ 。

一對按等價關係劃分^{[需要更深入解釋]}的投影：

${\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}$

它在C*-代數的K-理論和馮諾依曼代數中的Murray-馮諾依曼投影理論中發揮著重要作用。

幾類重要的部分等距映射

投影算子

任何正交投影算子都是始、終子空間為同一子空間的部分等距：

${\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}$

嵌入映射

任何等距嵌入映射都是始子空間為全空間的部分等距：

${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}$

么正算子

任何么正算子都是始、終子空間為全空間的部分等距：

${\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}$

例子

冪零矩陣

在二維復希爾伯特空間上的矩陣

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

是一個部分等距，其始子空間為

${\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }$

而終子空間為

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}$

一般有限維示例

有限維中的其他可能例子有$${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$$這顯然不是等距映射，因為列之間不正交。然而，它的支撐集是 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$ 和 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}$ 的線性生成空間，若將 ${\displaystyle A}$ 限制在這個空間上，就得到一個等距映射（特別地，也是一個么正算子）。類似地，可以驗證 ${\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}$ ，也就是說 ${\displaystyle A^{*}A}$ 是到其支撐集上的投影。部分等距不一定對應於方陣。例如，$${\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$$該矩陣的支撐集由 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}$和${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)}$ 張成，並在該子空間上成為一等距映射（特別地，是其上的恆等映射）。

還有一個例子$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$$這次 ${\displaystyle A}$ 在其支撐集上表現為一個非平凡的等距映射。

容易驗證 ${\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}$ 以及 ${\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}}$ ，這表明了 ${\displaystyle A}$ 在其支撐集 ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})}$ 與其值域 ${\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})}$ 間的等距性質。

左平移和右平移

平方可和序列空間上的左平移和右平移算子

${\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}$

有下列關係

${\displaystyle R^{*}=L.}$

而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空間由以下向量構成

${\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}$

其終子空間則是：

${\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).}$

參考資料

• Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6.
• Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras. Proceedings of the National Academy of Sciences. May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. PMC 388361 . PMID 16592156. doi:10.1073/pnas.71.5.1952 .
• Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7.
• Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7.
• Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648  [math.FA].

外部連結

• 重要性質及證明
• 替代證明