里奇流

里奇-哈密頓流，一般稱為里奇流（英語：Ricci flow）在微分幾何中是指一種固有的幾何學流動，它的主要思想是讓流形隨時間變形，即是讓度規張量隨時間變化，觀察在流形的變形下，里奇曲率是如何變化的，以此來研究整體的拓撲性質。它的核心是里奇-哈密頓流方程^{[註 1]}，是一個擬線性拋物型方程組。

不同時期的里奇流的2D流形.

里奇流以義大利數學家格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯托羅的名字命名，由美國數學家理察·哈密頓於1981年首次引入。這個工具同時被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼用於解決千禧年大獎難題之一的龐加萊猜想^[1]。同樣的，西蒙·布倫德和理察·肖恩正是使用它，使微分球面定理（英語：Sphere theorem）完成證明。

數學定義

給定黎曼流形上一個度規張量${\displaystyle g_{ij},}$可以計算出里奇張量${\displaystyle R_{ij},}$ 則這個度規張量（以及里奇張量）是一族與時間 t 有關的函數（儘管不一定是真實的物理相關的時間），然后里奇流的定義由以下幾何演變方程（geometric evolution equation）給出^[2]：

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}.}$

正規化的里奇流需要結合緊空間流形給出方程：

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}.}$

這裡的 ${\displaystyle R_{\mathrm {avg} }}$ 是關於純量曲率（為里奇張量的跡）的平均值，${\displaystyle n}$是流形的維數，這個正規化方程保持度量的體積不變。

實際上，這個-2 因數意義不大，因為可以常數乘 t 而使 -2 改寫成任意的非零實數。