里斯-馬爾可夫-角谷表示定理

提示：此條目的主題不是里斯表示定理。

在數學中，里斯-馬爾可夫-角谷表示定理將局部緊空間上的連續函數空間中的線性泛函與測度論中的測度聯繫起來。該定理冠名於 Frigyes Riesz （1909） ，其對於單位區間上的連續函數給出了該定理，而 Andrey Markov （1938） 將結果推廣到一些非緊空間， Shizuo Kakutani （1941） 則將結果推廣到緊豪斯多夫空間。

該定理有許多緊密相關的變體，在這些變體中，線性泛函可能是復值、實值或正值的，作為其定義域的空間可以是單位區間、緊空間或局部緊空間，所涉及的連續函數可能限定為是在無窮遠處消失的或緊支撐的，而測度可以是貝爾測度（英語：Baire measure）、正則博雷爾測度（英語：Borel regular measure）、 拉東測度、不定號測度或複測度。

Cc(X)上正線性泛函的表示定理

對於緊支撐復值連續函數空間 ${\displaystyle C_{c}(X)}$ 上的正線性泛函的版本，定理的表述如下：

定理 設 ${\displaystyle X}$ 為局部緊豪斯多夫空間，而 ${\displaystyle \psi }$ 為 ${\displaystyle C_{c}(X)}$ 上的正線性泛函。則 ${\displaystyle X}$ 上存在一個包含所有博雷爾集的Σ-代數 ${\displaystyle \Sigma }$ ，且 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ 上有唯一的正測度 ${\displaystyle \mu }$ 滿足^[1]

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{c}(X).}$

且還有以下額外性質成立：

• 對於每一個緊子集 ${\displaystyle K\subset X}$ ， ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$
• 每個博雷爾集 ${\displaystyle E\in \Sigma }$ 都是外正則的，也就是說 ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}}$
• 若 ${\displaystyle E}$ 是一開集，或 ${\displaystyle E}$ 是一滿足 ${\displaystyle \mu (E)<\infty }$ 的博雷爾集，則 ${\displaystyle E}$ 是內正則的，也就是說 ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}}$
• ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 是完備測度空間

因此，如果 ${\displaystyle X}$ 中的所有開集都是σ-緊（英語：σ-compact space）的，則 ${\displaystyle \mu }$ 是一個拉東測度。^[2]

C0(X)的連續對偶的表示定理

以下表示定理（同樣也被稱為里斯-馬爾可夫定理），給出了 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 的連續對偶空間的具體實現，其中 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的在無窮遠處消失的連續函數所構成的集合。

定理 設 ${\displaystyle X}$ 是局部緊的豪斯多夫空間。對於任何 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 上的連續線性泛函 ${\displaystyle \psi }$ ， ${\displaystyle X}$ 上存在唯一的復值正則博雷爾測度 ${\displaystyle \mu }$ 滿足

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{0}(X).}$

復值博雷爾測度 ${\displaystyle \mu }$ 稱為是正則的，若正測度 ${\displaystyle |\mu |}$ 是正則的，也就是說每個博雷爾集關於 ${\displaystyle |\mu |}$ 都是內正則且外正則的。 ${\displaystyle \psi }$ 的範數作為一個線性泛函來說就是 ${\displaystyle \mu }$ 的總變差 ，其為

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X).}$

最後，若且唯若測度 ${\displaystyle \mu }$ 是正測度， ${\displaystyle \psi }$ 是一個正線性泛函。

這個結論的有界線性泛函版本，可通過先證明有界線性泛函可以寫成正線性泛函的有限線性組合來推出。

歷史評論

在由 Frigyes Riesz （1909） 提供的原始版本中，此定理表明：對於區間 ${\displaystyle [0,1]}$ 上的連續函數 ${\displaystyle f}$ 所構成的空間 ${\displaystyle C([0,1])}$ ， ${\displaystyle C([0,1])}$ 上的任何連續線性泛函 ${\displaystyle A}$ 都可表示為

${\displaystyle A[f(x)]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x),}$

其中 ${\displaystyle \alpha (x)}$ 是區間 ${\displaystyle [0,1]}$ 上的有界變差函數，積分是黎曼-斯蒂爾傑斯積分。區間上的正則博雷爾測度與有界變差函數之間存在一一對應關係（即，將相應的勒貝格-斯蒂爾切斯測度賦予每個有界變差函數，而對勒貝格-斯蒂爾切斯測度的積分與連續函數的黎曼-斯蒂爾切斯積分一致），於是上述定理推廣了里斯的原始表述。 ^[3]