錢珀瑙恩數

錢珀瑙恩數（Champernowne constant）C₁₀是一個實數的超越數，其十進制表示法有重要的特性，得名自數學家D. G.錢珀瑙恩（英語：D. G. Champernowne），在1933年以本科生(劍橋大學)的身份發表有關錢珀瑙恩數的論文。

在十進制下，可以用連續整數來定義錢珀瑙恩數：

${\displaystyle C_{10}=0.12345678910111213141516...}$ （OEIS數列A033307）.

也可以定義其他進制系統下的錢珀瑙恩數：

${\displaystyle C_{2}=(0.1101110010111011110001001...)_{2}}$

${\displaystyle C_{3}=(0.12101112202122100101102110...)_{3}}$

${\displaystyle C_{36}=(0.123456789ABCDEFGHIJ...)_{36}}$

錢珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比爾字（Barbier word）是指由C_k各位數形成的數列^[1][2]。

十進制下的錢珀瑙恩數C₁₀為正規數，是每個數字出現機會均等的實數。

性質

實數x若在某一進制b下，其數字都是均勻分佈，此實數在底數b下為正規數。均勻分佈的意思是所有數字出現比率相近，所有二位數字組合出現比率相近，所有三位數字組合出現比率相近等。若實數在所有進制都是正規數，則稱為絕對正規數。

若將一數字的各位數組成一字串，為[a₀, a₁, ...]，而此數字在10進制下正規數，因此可以預期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出現的機率都是1/10，而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出現的機率都是1/100。

錢珀瑙恩證明了${\displaystyle C_{10}}$在十進制下為正規數^[3]，Nakai和Shiokawa證明了更通用的定理：也就是${\displaystyle C_{b}}$在b進制下都會正規數^[4]。有關在${\displaystyle b\neq k}$的條件下，${\displaystyle C_{k}}$在b進制是否是正規數，這問題是還沒有答案的開放問題。例如，目前還不知道${\displaystyle C_{10}}$在9進制下是否是正規數。例如${\displaystyle C_{10}}$的前54位數是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9進制下表示為${\displaystyle {0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}}$。

Kurt Mahler（英語：Kurt Mahler）證明錢珀瑙恩數是超越數^[5]。${\displaystyle C_{10}}$的無理性度量（英語：irrationality measure）（表示用有理數近似此數字的困難程度）為${\displaystyle \mu (C_{10})=10}$，而針對${\displaystyle b\geq 2}$的進制${\displaystyle b}$，${\displaystyle \mu (C_{b})=b}$^[6]。

相關條目

• 科普蘭—艾狄胥常數：另一個用質數定義的正規數。
• 劉維爾數：另一個用十進制定義的超越數。