階躍函數

在數學中，如果實數域上的某個函數可以用半開區間上的指示函數的有限次線性組合來表示，那麼這個函數就是階躍函數。換一種不太正式的說法就是，階躍函數是有限段分段常數函數的組合。

n=4 的階躍函數

假設已知：

• 一個係數序列

${\displaystyle \{\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}\}\subset \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$

• 區間邊界

${\displaystyle \{x_{1}<\dots <x_{n}\}\subset \mathbb {R} }$

• 區間序列

${\displaystyle A_{0}:=(-\infty ,x_{1})}$

${\displaystyle A_{i}:=[x_{i},x_{i+1})}$（對於${\displaystyle i=1,\cdots ,n-1}$）

${\displaystyle A_{n}:=[x_{n},\infty )}$

（儘管這個例子中的區間下邊界包含在內，而上邊界不包含在內，但是這並不是定義所要求的。只要區間 A_n 互不相交，並且它們的組合是實數就可以了。）

定義： 函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 是 階躍函數的條件是若且唯若它可以表示為

對於所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ 有 ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\cdot 1_{A_{i}}(x)}$ 其中 ${\displaystyle 1_{A}}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的指示函數：

${\displaystyle 1_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&\mathrm {if} \;x\in A\\0,&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.}$

注意： 對於所有的 ${\displaystyle i=0,\cdots ,n}$ 及 ${\displaystyle x\in A_{i}}$ 滿足： ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}.}$

特殊階躍函數

單位階躍函數是 n=1、α₀=0、α₁=1 以及 x₁=0 時的階躍函數特例，或者叫赫維賽德函數。

參見

• 簡單函數
• 分段函數