阿培里常數

在數學中，阿培里常數是一個時常會遇到的常數。在一些物理問題中阿培里常數也會很自然地出現。比如說量子電動力學里，阿培里常數出現在電子的磁旋比展開的第二項與第三項中。

阿培里常數

阿培里常數
識別
種類	無理數
符號	${\displaystyle \zeta (3)}$
位數數列編號	A002117
性質
定義	${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}}$
連分數	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$ 注意這個連分數不是迴圈的
表示方式
值	${\displaystyle \zeta (3)\approx }$1.202056903159594...
二進制	1.001100111011101000000000010011…
十進制	1.2020569031595942853997381…
十六進制	1.33BA004F0062138371715C59E…

阿培里常數的準確定義是黎曼ζ函式的一個值：ζ(3)，

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \,\!}$

它的前45位準確數字為：(Wedeniwski 2001)

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292…   （OEIS數列A002117）.

這個常數的倒數也是一個有意義的常數：考慮任意三個隨機抽取的正整數，它們之間互質的機率正是阿培里常數的倒數。

阿培里定理

主條目：阿培里定理

事實上，黎曼ζ函式在偶數上的取值是容易求得的，在奇數上的取值則遠未有一般性成果。這個常數以數學家羅傑·阿培里（英語：Roger Apéry）命名，因為後者在1978年證明了它是一個無理數。這個結論被稱為阿培里定理（英語：Apéry's theorem）。最初的證明很長，而且晦澀難懂，幸好不久後發現了更為簡潔的證明，只需要用到勒壤得多項式。現在還不能確定阿培里常數是否是超越數。

近來的研究表明，黎曼ζ函式在無窮多個奇數上的取值都是無理數 ^[1]，並且ζ(5)、ζ(7)、ζ(9)和ζ(11)之中至少有一個是無理數^[2]。

級數表示

1772年，萊昂哈德·歐拉證明了一個關於ζ(3)的級數表示：

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$

這個結果後來又多次被其他人獨立發現。

在當代，西蒙·普勞夫給出了一系列級數，使得運用它們能夠精確地計算出阿培里常數的第n位小數的數值，而不需要求出它的前n − 1位小數。其中有：

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

以及：

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

已知數字

和不少數學常數一樣，近幾十年來，阿培里常數的數值計算經歷了驚人的進展。這一方面是由於電腦計算能力的快速提高，另一方面也是因為不斷有更好的演算法被找到。1998年，布拉德赫斯特發現了一種能夠線上性時間內計算阿培里常數的二進制數值的方法，並且只需要用到對數規模的儲存空間。

阿培里常數ζ(3)的已知數值位數

時間	十進制位數	計算者
未知	16	阿德里安-馬里·勒壤得
1887年	32	湯姆斯·斯蒂爾吉斯
1996年	520,000	西蒙·普勞夫
1997年	1,000,000	布魯諾·愛博和湯姆斯·帕帕尼科勞
1997年5月	10,536,006	帕德里克·德米切爾
1998年2月	14,000,074	塞巴斯蒂安·維德尼夫斯基
1998年3月	32,000,213	塞巴斯蒂安·維德尼夫斯基
1998年7月	64,000,091	塞巴斯蒂安·維德尼夫斯基
1998年12月	128,000,026	塞巴斯蒂安·維德尼夫斯基
2001年9月	200,001,000	宮本芳正和扎維爾·古東
2002年2月	600,001,000	宮本芳正和扎維爾·古東
2003年2月	1,000,000,000	帕德里克·德米切爾和扎維爾·古東
2006年4月	10,000,000,000	宮本芳正和斯蒂夫·帕格利亞魯諾
2009年1月	15,510,000,000	亞歷山大·易和雷蒙·陳
2009年3月	31,026,000,000	亞歷山大·易和雷蒙·陳

參考來源