阿基米德中點定理

阿基米德中點定理（英語：Archimedes' Midpoint Theorem），又稱為阿基米德折弦定理，是一個關於圓的定理。若一個圓上有兩點${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle M}$為弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$的中點，隨意選圓上的一點${\displaystyle C}$，再選${\displaystyle {\overline {AC}}}$上一點${\displaystyle D}$使得${\displaystyle {\overline {MD}}}$垂直${\displaystyle {\overline {AC}}}$。若${\displaystyle M}$、${\displaystyle C}$在弦${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$異側，則${\displaystyle {\overline {AD}}}$=${\displaystyle {\overline {CD}}}$-${\displaystyle {\overline {BC}}}$；若${\displaystyle M}$、${\displaystyle C}$在弦${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$同側，則${\displaystyle {\overline {AD}}}$=${\displaystyle {\overline {CD}}}$+${\displaystyle {\overline {BC}}}$。

在此圖中AD=DC+BC

證明

若為同側：在線段${\displaystyle {\overline {AD}}}$上取點${\displaystyle X}$，使得${\displaystyle {\overline {DX}}={\overline {DC}}}$，由於${\displaystyle {\overline {MD}}\perp {\overline {AC}}}$，有

${\displaystyle {\overline {MX}}={\overline {MC}}}$。又因為${\displaystyle M}$為弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$中點，${\displaystyle {\overset {\frown }{AM}}={\overset {\frown }{BM}}}$。

同時由圓周角定理知：

${\displaystyle \angle MAC=\angle MBC}$，${\displaystyle \angle ABM=\angle ACM}$，

所以 ${\displaystyle \angle XMC=2\angle DMC=180^{\circ }-2\angle ACM=180^{\circ }-2\angle ABM=\angle AMB}$ ，

所以 ${\displaystyle \angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle AMC-\angle AMB=\angle BMC}$，

所以 ${\displaystyle \triangle AMX\cong \triangle BMC}$，

所以 ${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {BC}}}$，${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AX}}+{\overline {XD}}={\overline {DC}}+{\overline {CB}}}$，命題得證。

若為異側：在線段${\displaystyle {\overline {AD}}}$延長線上取點${\displaystyle X}$,使${\displaystyle {\overline {DX}}={\overline {AD}}}$.因為${\displaystyle M}$為弧${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$中點，所以${\displaystyle \angle ACM=\angle BCM}$。又因為四邊形${\displaystyle AMBC}$為圓內接四邊形，所以，延長${\displaystyle {\overline {CB}}}$至${\displaystyle P}$，則${\displaystyle \angle MBP=\angle MAC}$。但是${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {DX}}}$，${\displaystyle \angle ADM}$為直角，所以${\displaystyle \triangle ADM\cong \triangle XDM}$ ； ${\displaystyle \angle MAC=\angle AXM}$ ； ${\displaystyle \angle MBP=\angle AXM}$ ； ${\displaystyle \angle CXM=\angle CBM}$ 。

又${\displaystyle {\overline {CM}}={\overline {CM}}}$，所以 ${\displaystyle \triangle CXM\cong \triangle CBM}$ 。

承上所述，所以${\displaystyle {\overline {CX}}={\overline {CB}}}$。所以${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {DC}}-{\overline {CX}}={\overline {DC}}-{\overline {CB}}}$。

外部連結

• Java程式 (by Jim Loy)