阿特伍德機

阿特伍德機（Atwood machine，又譯作阿特午德機或阿特午機），是由英國牧師、數學家兼物理學家的喬治·阿特伍德在1784年發表的《關於物體的直線運動和轉動》一文中提出的^[1]，用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中，用來解釋經典物理學的原理，驗證力學中做恆定加速度運動的運動規律。

阿特伍德機，1905年。

一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m₁和m₂，及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪。 ^[2]

當${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$，無論兩物體在何位置、機器處於力平衡的狀態。當${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$時，兩物體皆以大小相等的加速度做運動。

恆定加速度的方程式

Atwood machine

我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那麼我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。先找出個別影響兩物體的力,當${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$時,

m₁的力: ${\displaystyle \;T-m_{1}g}$

m₂的力: ${\displaystyle \;m_{2}g-T}$

利用牛頓第二運動定律, ${\displaystyle \;T-m_{1}g=m_{1}a}$, ${\displaystyle \;m_{2}g-T=m_{2}a}$ 。 將這兩個方程式相加, 我們可以得到整個系統的恆定的加速度的方程式。定義合力${\displaystyle \sum F}$, 我們有 ${\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}$ 。

${\displaystyle \sum F=ma}$

${\displaystyle a={\sum F \over m}}$

${\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}$

${\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}$

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。 ^[3]

計算張力的方程式

上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$

例如代入${\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}$，我們得到

${\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

藉由同樣的方法，張力也可以從${\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}$中求得。

有轉動慣量滑輪和摩擦存在的情況

若m₁與m₂之間的重量差別很小時，半徑為（r）的滑輪的轉動慣量（I）不可以被忽略。當不打滑時，滑輪的角加速度可以從以下算式求得：

${\displaystyle \alpha ={a \over r}}$

在此情況下，作用於滑輪上的總力矩為：

${\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$

把該方程式與兩個垂吊物體的方程式 ${\displaystyle \;T_{1}-m_{1}g=m_{1}a}$, ${\displaystyle \;m_{2}g-T_{2}=m_{2}a}$ 聯合求解 ${\displaystyle \;T_{1}}$, ${\displaystyle \;T_{2}}$ 和 ${\displaystyle \;a}$，我們得到：

${\displaystyle a={g(m_{2}-m_{1})-{\tau _{friction} \over {r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

${\displaystyle T_{1}={m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

${\displaystyle T_{2}={m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$