陳-高斯-博內定理

在數學中，陳定理（或陳–高斯–博內定理，英語：Chern–Gauss–Bonnet theorem）以數學家陳省身、卡爾·弗里德里克·高斯、皮埃爾·奧西恩·博內（英語：Pierre Ossian Bonnet）的名字命名。此定理斷言：2n維黎曼流形的歐拉示性數可以從曲率計算出來。陳定理也是高斯–博內定理（n=1）在高維的推廣，其在數學和理論物理學中亦有許多應用。此定理由陳省身於1945年證出。陳定理將全局拓撲學與局部微分幾何聯繫起來。^[1]

定理

若M是2n維的黎曼流形，陳定理為：^[2][3]

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(\Omega )}$

${\displaystyle \chi (M)}$是M的歐拉示性數, ${\displaystyle \Omega }$是M的曲率形式, 歐拉類${\displaystyle e(\Omega )}$則定義為

${\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}$

${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$是普法夫值。^[4]

其他連結

• 陳類
• 阿蒂亞－辛格指標定理