隱函數

在數學中，隱式方程式（英語：implicit equation）是形同${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0}$的關係，其中${\displaystyle f}$是多元函數。比如單位圓的隱式方程式是${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$。

隱函數（implicit function）是由隱式方程式間接定義的函數，比如 ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ 是由 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ 確定的函數。而可以直接用含自變數的算式表示的函數稱為顯函數，也就是通常所說的函數，如${\displaystyle y=\cos(x)}$。

隱函數定理說明了隱式方程式在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。

例子

反函數

隱函數的一個常見類型是反函數。若${\displaystyle f}$是一個函數，那麼${\displaystyle f}$的反函數記作${\displaystyle f^{-1}}$, 是給出下面方程式解的函數

${\displaystyle x=f(y)}$

用${\displaystyle x}$表示${\displaystyle y}$。這個解是

${\displaystyle y=f^{-1}(x).}$

直觀地，通過交換f自變數和應變數的位置就可以得到反函數。換一種說法，反函數給出該方程式對於${\displaystyle y}$的解

${\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}$

例子

1. 對數函數 ${\displaystyle \ln x}$ 給出方程式${\displaystyle x-e^{y}=0}$或等價的${\displaystyle x=e^{y}}$的解${\displaystyle y=\ln x}$。 這裡${\displaystyle f(y)=e^{y}}$並且${\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x}$。
2. 朗伯W函數則可以解出${\displaystyle x-ye^{y}=0}$的${\displaystyle y}$值。

代數函數

主條目：代數函數

一個代數函數是滿足自身多項式係數的多項式方程式的函數。例如，單變量 ${\displaystyle x}$ 的代數函數給出一個方程式中 ${\displaystyle y}$ 的解。

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}$

其中係數 ${\displaystyle a_{i}(x)}$ 為 ${\displaystyle x}$ 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代數幾何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}$

那麼 ${\displaystyle y}$ 的顯函數解顯然是：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,}$

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於${\displaystyle y}$的二次、三次和四次方程式，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這並不適用於包括五次在內的更高次數的方程式（參見阿貝爾-魯菲尼定理），例如：

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}$

但是，我們仍然可以以隱函數${\displaystyle y=g(x)}$的方式來表達。

隱函數的導數

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法：

方法一

• 把${\displaystyle n}$元隱函數看作${\displaystyle (n+1)}$元函數，通過多元函數的偏導數的商求得${\displaystyle n}$元隱函數的導數。

示例

把一元隱函數${\displaystyle y=g(x)}$看作二元函數${\displaystyle f(x,y)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$，對${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0}$，經過移項可得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}$

（式中${\displaystyle f_{x}}$表示${\displaystyle f(x,y)}$關於${\displaystyle x}$的偏導數${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$，以此類推）。

把2元隱函數${\displaystyle y=g(x,z)}$看作3元函數${\displaystyle f(x,y,z)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$，對${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0}$ 。

由於所求為${\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}}$，令z為常數，即${\displaystyle dz=0}$，經過移項可得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}$

方法二

• 針對1元隱函數，把${\displaystyle y}$看作${\displaystyle x}$的函數，利用連鎖法則在隱函數等式兩邊分別對${\displaystyle x}$求導，再通過移項求得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$的值。
• 針對2元隱函數，把${\displaystyle y,z}$看作${\displaystyle x}$的函數，利用連鎖法則在隱函數等式兩邊分別對${\displaystyle x}$求導，令${\displaystyle dz=0}$，再通過移項求得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$的值。

示例

• 針對${\displaystyle y^{n}}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}}$

• 針對${\displaystyle x^{m}y^{n}}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}}$

• 求${\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10}$中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

${\displaystyle {\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10}$

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

${\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0}$

2.移項處理。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}}$

3.提出導數因子。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

4.移項處理。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}}$

5.完成。得出其導數為${\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}}$。

6.選擇性步驟：因式分解。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}}$

參見

• 反函數