雅可比三重乘積

雅可比三重乘積是由德國數學家卡爾·雅可比在對theta函數和q-模擬的研究中發現的有關一個三重無窮乘積的恆等式，形如

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{2k})(1+q^{2k-1}z^{-2})(1+q^{2k-1}z^{+2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k^{2}}z^{2k}}$

其中${\displaystyle q<|1|}$在單位圓盤內，而${\displaystyle z\neq 0}$非零。 它也可以用Q-函數或者q-珀赫哈默爾符號描述，

${\displaystyle Q_{1}Q_{2}Q_{3}=1}$

證明

考慮恆等式

${\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\sum _{j=0}^{\infty }(s^{k+j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})\left[t^{j}\prod _{n=1}^{\infty }(1+tq^{n})+t^{j-1}\prod _{n=1}^{\infty }(1+tq^{n})\right]}$

立刻就有

${\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\sum _{j=0}^{\infty }(1+t)(s^{k+j}t^{j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+tq^{m})=\sum _{j=0}^{\infty }(s^{k+j}t^{j})\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+tq^{m-1})}$

考慮令${\displaystyle u=st}$，則原式可改寫為

${\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{k}\sum _{j=0}^{\infty }u^{j}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+uq^{m-1}/s)}$

因此

${\displaystyle q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{k}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+sq^{m-1})}$

利用對稱性，令${\displaystyle s=1/s}$，又有

${\displaystyle q^{\begin{pmatrix}1-k\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=s^{-k}\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)}$

再考慮對${\displaystyle k}$的雙邊無窮求和，

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }s^{k}q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod _{j=1}^{\infty }1/({1-q^{j}})=\prod _{m=1}^{\infty }(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)}$

因此，進一步地

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }s^{k}q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{m})(1+sq^{m})(1+q^{m-1}/s)}$

令${\displaystyle q=q^{2}}$且${\displaystyle sq=z}$，恆等式得證。