雅可比旋轉

在數值線性代數中，雅可比旋轉是 n 維內積空間的二維線性子空間的旋轉 Q_kℓ，在用做相似變換的時候，被選擇來置零 n×n 實數對稱矩陣 A 的非對角元素的對稱對:

${\displaystyle A\mapsto Q_{k\ell }^{T}AQ_{k\ell }=A'.\,\!}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a_{kk}&\cdots &a_{k\ell }&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&a_{\ell k}&\cdots &a_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a'_{kk}&\cdots &0&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&0&\cdots &a'_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}}$

它是雅可比特徵值算法的核心運算，它是數值上穩定的並適合用並行計算實現。

注意到只有 A 的行 k 和 ℓ 與列 k 和 ℓ 受到影響，並且 A′ 將保持對稱。還有給 Q_kℓ 的明顯的矩陣很少被計算，轉而計算輔助值，A 也有效率和數值上穩定的方式更新。但是，為了引用，我們寫矩陣為

${\displaystyle Q_{k\ell }={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&0&\\&&c&\cdots &s&&\\&&\vdots &\ddots &\vdots &&\\&&-s&\cdots &c&&\\&0&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}.}$

就是說，除了四個元素之外，Q_kℓ 是一個單位矩陣，兩個在對角線上(q_kk 和 q_ℓℓ 都等於 c) 而兩個位於遠離對角的位置上(q_kℓ 和 Q_ℓk 分別等於 s 和 −s)。這裡的 c = cos ϑ 而 s = sin ϑ 對於某個角度 ϑ；但是對於應用這種旋轉，這個角度自身是不需要的。使用克羅內克δ符號，矩陣元素可以寫為

${\displaystyle q_{ij}=\delta _{ij}+(\delta _{ik}\delta _{jk}+\delta _{i\ell }\delta _{j\ell })(c-1)+(\delta _{ik}\delta _{j\ell }-\delta _{i\ell }\delta _{jk})s.\,\!}$

假設 h 是不為 k 或 ℓ 的索引(它們自身必須是不同的)。類似的更改過程在代數上寫為

${\displaystyle a'_{hk}=a'_{kh}=ca_{hk}-sa_{h\ell }\,\!}$

${\displaystyle a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=ca_{h\ell }+sa_{hk}\,\!}$

${\displaystyle a'_{k\ell }=a'_{\ell k}=(c^{2}-s^{2})a_{k\ell }+sc(a_{kk}-a_{\ell \ell })=0\,\!}$

${\displaystyle a'_{kk}=c^{2}a_{kk}-s^{2}a_{\ell \ell }-2sca_{k\ell }\,\!}$

${\displaystyle a'_{\ell \ell }=c^{2}a_{kk}-s^{2}a_{\ell \ell }+2sca_{k\ell }\,\!}$

數值穩定計算

要確定需要更改的數量，我們必須解遠離對角的元素為零的方程(Golub & Van Loan 1996，§8.4) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGolubVan_Loan1996 (幫助)。這蘊涵了

${\displaystyle {\frac {c^{2}-s^{2}}{sc}}={\frac {a_{\ell \ell }-a_{kk}}{a_{k\ell }}}.}$

設 β 是這個數量的一半，

${\displaystyle \beta ={\frac {a_{\ell \ell }-a_{kk}}{2a_{k\ell }}}.}$

如果 a_kℓ 是零，我們可以停止而不需要進行更改，因此我們永不除以零。設 t 是 tan ϑ。則通過一些三角恆等式我們簡約這個方程為

${\displaystyle t^{2}+2\beta t-1=0.\,\!}$

為了穩定性我們選擇解

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {sgn}(\beta )}{|\beta |+{\sqrt {\beta ^{2}+1}}}}.}$

以此我們可以獲得 c 和 s 為

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,\!}$

${\displaystyle s=ct\,\!}$

儘管我們可以使用前面給出的代數更改等式，重寫它們會更好。設

${\displaystyle \rho ={\frac {s}{1+c}},}$

所以 ρ = tan(ϑ/2)。則修訂後的修改方程為

${\displaystyle a'_{hk}=a'_{kh}=a_{hk}-s(a_{h\ell }+\rho a_{hk})\,\!}$

${\displaystyle a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=a_{h\ell }+s(a_{hk}-\rho a_{h\ell })\,\!}$

${\displaystyle a'_{k\ell }=a'_{\ell k}=0\,\!}$

${\displaystyle a'_{kk}=a_{kk}-ta_{k\ell }\,\!}$

${\displaystyle a'_{\ell \ell }=a_{\ell \ell }+ta_{k\ell }\,\!}$

如前面提及的，我們永不需要明確的計算旋轉角度 ϑ。事實上，我們可以通過只保留三個值 k, ℓ 和 t 來重新生成由 Q_kℓ 確定的對稱更改，帶有 t 對零旋轉設置為零。

參見

• Givens旋轉

引用

• Golub, Gene H. & Charles F. Van Loan (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）